Kettenbruch

In der Mathematik und insbesondere der Zahlentheorie ist ein Kettenbruch (fortgesetzter Bruch) ein Ausdruck der Form

$LaTeX: a + \cfrac{b}{c+\cfrac{d}{e+\cfrac{f}{\ddots}}}\quad.$

Ein Kettenbruch (eng. continued fraction) ist also ein gemischter Bruch der Form $LaTeX: a + \tfrac{b}{x}$, bei dem der Nenner $LaTeX: x$ wieder die Form eines gemischten Bruchs besitzt, wobei sich dieser Aufbau weiter so fortsetzt.

Allgemeines

Jede reelle Zahl kann als ein Kettenbruch mit ganzen Zahlen $LaTeX: a, b, c, d, e, f, \dotsc$ ausgedrückt werden. Kettenbrüche können daher als Zahlensystem bezeichnet werden, wie das Dezimalsystem. Sie dienen jedoch in erster Linie nicht zum Rechnen, sondern werden dazu verwendet, Approximationsaufgaben zu lösen: So liefern sie in der Zahlentheorie Näherungen für reelle Zahlen, indem diese durch einen Bruch aus ganzen Zahlen ausgedrückt werden, und in der numerischen Mathematik approximiert man durch sie Funktionen, ähnlich wie dies auch mittels Potenzreihen erreicht wird.

Von besonderer Bedeutung sind regelmäßige Kettenbrüche, auch reguläre oder einfache Kettenbrüche genannt. Ein solch regelmäßiger (regulärer/einfacher) Kettenbruch (eng. regular/simple continued fraction) zeichnet sich dadurch aus, dass alle Zähler $LaTeX: (b, d, f, \dotsc)$ den Wert $LaTeX: 1$ haben. Ein regulärer Kettenbruch ist also durch die Folge $LaTeX: a, c, e, \dotsc$ bestimmt, und man schreibt ihn platzsparend als $LaTeX: [a; c, e, \dotsc]$.

Daneben spielen die mit den regulären Kettenbrüchen eng verwandten negativ-regelmäßigen Kettenbrüche eine Rolle. Bei ihnen sind alle Zähler $LaTeX: (b, d, f, \dotsc)$ auch alle gleich, jedoch gleich $LaTeX: -1$.

Kettenbrüche spielen zudem eine große Rolle in der Zahlentheorie. So zeigte zum Beispiel Joseph Liouville 1844 mit ihrer Hilfe, dass transzendente Zahlen existieren. Außer in der Zahlentheorie kommen Kettenbrüche in der Kryptographie, algebraischen Geometrie, Topologie, Funktionentheorie, numerischen Mathematik und bei der Analyse chaotischer Systeme zur Anwendung.

Joseph-Louis Lagrange gilt zusammen mit Leonhard Euler als der Begründer der Kettenbruchtheorie.

Geschichte

$LaTeX: \sqrt{2}= 1+\cfrac{1} {2+\cfrac{1} {2+\cfrac{1} {2+\cfrac{1} {2+\cfrac{1}{\ddots}}}}}$

Regulärer Kettenbruch

$LaTeX: \cfrac{4}{\pi}= 1+\cfrac{1^2} {3+\cfrac{2^2} {5+\cfrac{3^2} {7+\cfrac{4^2} {9+\cfrac{5^2}{\ddots}}}}}$

Lamberts Kettenbruch für $LaTeX: 4/\pi$

$LaTeX: \tan(z)= \cfrac{z} {1-\cfrac{z^2} {3-\cfrac{z^2} {5-\cfrac{z^2} {7-\cfrac{z^2}{\ddots}}}}}$

Lamberts Kettenbruch für den Tangens

Kettenbrüche werden seit dem 16. Jahrhundert dazu verwendet, „gute Näherungsbrüche“ für irrationale Zahlen zu finden. Das bekannteste Beispiel ist die Näherung $LaTeX: 22/7$ für $LaTeX: \pi$.

Deliciae physico-mathematicae, 1636

Rafael Bombelli verwendete Kettenbrüche bereits 1579, um damit Quadratwurzeln zu berechnen. Im Jahr 1613 veröffentlichte Pietro Cataldi ein Buch, in dem unter anderem auch Kettenbrüche auftauchen. 1636 finden sich Kettenbrüche im Buch „Deliciae Physico-Mathematicae“ von Daniel Schwenter und ab 1655 in mehreren Büchern von John Wallis. Aus dem Bedürfnis, Brüche mit großen Nennern sowie natürliche Konstanten zu approximieren, beschäftigte sich zunächst Christiaan Huygens im 17. Jahrhundert mit Kettenbrüchen. Er berechnete damit aus den Umlaufzeiten der Planeten das Übersetzungsverhältnis der Zahnräder für sein Zahnradmodell des Sonnensystems. Huygens ermittelte für die Umlaufzeit um die Sonne das Verhältnis zwischen Saturn und Erde als

$LaTeX: \frac{77\,708\,431}{2\,640\,858} \approx 29{,}425448.$

Der reguläre Kettenbruch hierfür beginnt mit $LaTeX: [29; 2, 2, 1, 5, 1, 4, \dotsc]$. Approximiert man dieses Verhältnis mit dem Näherungsbruch, der entsteht, wenn man nur die ersten vier Einträge verwendet, dann beträgt der Fehler nur $LaTeX: 0{,}003123$, da

$LaTeX: 29 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1}}} = \cfrac{206}{7} \approx 29{,}428571.$

In Leonhard Eulers Korrespondenz treten Kettenbrüche hingegen zuerst in einem ganz anderen Zusammenhang auf, nämlich in Verbindung mit der Riccatischen Differentialgleichung. Bald jedoch interessierte sich Euler für Kettenbrüche um ihrer selbst willen. Er entdeckte nämlich die folgenden drei wichtigen Eigenschaften:

1. Jede rationale Zahl kann durch einen endlichen regulären Kettenbruch dargestellt werden (der mit Hilfe des euklidischen Algorithmus berechnet werden kann).
2. Periodische reguläre Kettenbrüche stellen quadratische Irrationalzahlen dar; diese Aussage bewies Euler als Erster.
3. Die Entwicklung jeder reellen Zahl in einen regulären Kettenbruch liefert die besten rationalen Approximationen für diese Zahl.

Einige dieser Erkenntnisse hatte bereits Huygens gewonnen, dessen Arbeit Euler aber unbekannt war. Eulers Arbeiten – und darauf aufbauend die von Joseph-Louis Lagrange – begründeten die Theorie der Kettenbrüche.

Zur rationalen Approximation existiert neben dem Algorithmus von Euler auch ein Algorithmus von Lord William Brouncker. Euler zeigte um 1759, dass die beiden Algorithmen identisch sind. Johann Heinrich Lambert benutzte Kettenbrüche in seiner Arbeit von 1766 dazu, die Irrationalität von $LaTeX: \pi$ zu zeigen. Seine Kettenbruchentwicklung der Tangensfunktion ist in der Abbildung rechts dargestellt.

Moritz Abraham Stern schuf 1832 die erste systematische Zusammenfassung der Theorie der Kettenbrüche. Im 19. Jahrhundert entwickelte sich die Theorie rasch weiter und so veröffentlichte Oskar Perron im Jahre 1913 eine Zusammenfassung des Wissensstandes, die bis heute als ein Standardwerk gilt (Neuauflage 1954/57).

Weitere wichtige Anwendungen waren und sind: Beweise für die Irrationalität oder die Transzendenz spezieller Zahlen und die Ermittlung von Schaltjahren (da ein Jahr mit 365,24219 Tagen etwas kürzer als 365¼ Tage ist, bedarf es zusätzlich zum Schalttag alle vier Jahre einer weiteren Korrektur; die beste Wahl dafür lässt sich mit Kettenbrüchen begründen).

Zu vielen weiteren Theman siehe auch

• Kettenbruch - Artikel in der deutschen Wikipedia

Siehe auch

• Kettenbruch - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Kettenbruchmethode - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Farey-Folge - Artikel in der deutschen Wikipedia

Literatur

• Claude Brezinski: History of Continued Fractions and Padé Approximants. Springer, Berlin 1991.
• Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76490-8.
• Alexander Jakowlewitsch Chintschin: Kettenbrüche. Teubner, Leipzig 1956, oder Continued Fractions. Dover Publications, 1997 (russ. Original 1935).
• Godfrey Harold Hardy, E. M. Wright: An introduction to the theory of numbers. Oxford University Press, 2005 (1. Auflage 1938).
• William B. Jones, W. J. Thron: Continued Fractions. Analytic Theory and Applications. Cambridge University Press, 2009.
•  Oleg Karpenkov: Geometry of Continued Fractions (= Algorithms and Computation in Mathematics). Springer Verlag, Heidelberg, New York, Dordrecht, London 2013, ISBN 978-3-642-39367-9, doi:10.1007/978-3-642-39368-6.
• Ivan M. Niven, Herbert S. Zuckerman: Einführung in die Zahlentheorie. 2 Bände, Bibliographisches Institut, Mannheim 1976 (engl. Original: Wiley, 1960).
• Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen.1. Auflage in einem Band. Teubner, 1913, archive.org. 2. Auflage 1929, 3. Auflage in zwei Bänden, Band 1: Elementare Kettenbrüche. 1954, Band 2: Analytisch-funktionentheoretische Kettenbrüche. 1957.
• Oskar Perron: Irrationalzahlen. Göschens Lehrbücherei, Band 1. Walter de Gruyter, Berlin/Leipzig 1921, archive.org. 2. Auflage 1939, 3. Auflage 1947.
• Andrew M. Rockett, Peter Szüsz: Continued fractions. World Scientific, 1992.
• Joachim Stiller: Endliche und unendliche Algorithmen und Kettenbrüche PDF

Weblinks

Commons: Kettenbruch - Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema

 Wikibooks: Formelsammlung Mathematik: Kettenbrüche – Lern- und Lehrmaterialien

• Eric W. Weisstein: Continued Fraction (Kettenbruch). In: MathWorld (englisch).
• Eric W. Weisstein: Khinchin’s Constant (Chintschin-Konstante). In: MathWorld (englisch).
• Kettenbrüche online berechnen auf den Matheseiten von Arndt Brünner.
• Continued Fractions – An introduction – Einführung im Kontext angrenzender Gebiete (englisch).
• Christian Spannagel: 3 Vorlesungen zu Kettenbrüchen, 2012.

Einzelnachweise

Dieser Artikel wurde am 13. April 2010 in dieser Version in die Liste der lesenswerten Artikel aufgenommen.