Funktionentheorie

Funktionsgraph von f(z)=(z²-1)(z-2-i)²/(z²+2+2i) in Polarkoordinaten. Der Farbton gibt den Winkel an, die Helligkeit den Betrag der komplexen Zahl.

Die Funktionentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik. Sie befasst sich mit der Theorie differenzierbarer komplexwertiger Funktionen mit komplexen Variablen. Da insbesondere die Funktionentheorie einer komplexen Variablen reichlich Gebrauch von Methoden aus der reellen Analysis macht, nennt man das Teilgebiet auch komplexe Analysis.

Zu den Hauptbegründern der Funktionentheorie gehören Augustin-Louis Cauchy, Bernhard Riemann und Karl Weierstraß.

Komplexe Funktionen

Eine komplexe Funktion ordnet einer komplexen Zahl eine weitere komplexe Zahl zu. Da jede komplexe Zahl durch zwei reelle Zahlen in der Form $LaTeX: x + iy$ geschrieben werden kann, lässt sich eine allgemeine Form einer komplexen Funktion durch

$LaTeX: x + iy \mapsto f(x+iy) = u(x,y) + i v(x,y)$

darstellen. Dabei sind $LaTeX: \,u(x,y)$ und $LaTeX: \,v(x,y)$ reelle Funktionen, die von zwei reellen Variablen $LaTeX: x$ und $LaTeX: y$ abhängen. $LaTeX: \,u(x,y)$ heißt der Realteil und $LaTeX: \,v(x,y)$ der Imaginärteil der Funktion. Insofern ist eine komplexe Funktion nichts anderes als eine Abbildung von $LaTeX: \mathbb{R}^2$ nach $LaTeX: \mathbb{R}^2$ (also eine Abbildung, die zwei reellen Zahlen wieder zwei reelle Zahlen zuordnet). Tatsächlich könnte man die Funktionentheorie auch mit Methoden der reellen Analysis aufbauen. Der Unterschied zur reellen Analysis wird erst deutlicher, wenn man komplex-differenzierbare Funktionen betrachtet und dabei die multiplikative Struktur des Körpers der komplexen Zahlen ins Spiel bringt, die dem Vektorraum $LaTeX: \mathbb{R}^2$ fehlt. Die grafische Darstellung komplexer Funktionen ist etwas umständlicher als gewohnt, da nun vier Dimensionen wiedergegeben werden müssen. Aus diesem Grund behilft man sich mit Farbtönen oder -sättigungen.

Siehe auch

• Funktionentheorie - Artikel in der deutschen Wikipedia

Literatur

•  Lars Ahlfors: Complex Analysis. McGraw-Hill, 1953.
•  Heinrich Behnke, Friedrich Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. 3. Auflage. Springer, Berlin 1976, ISBN 978-3-540-07768-8.
•  Ludwig Bieberbach: Lehrbuch der Funktionentheorie. 2 Bände, Teubner, 1923.
•  Rolf Busam, Eberhard Freitag: Funktionentheorie 1. 4. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 3-540-31764-3.
•  Heinrich Durege: Elemente der Theorie der Funktionen einer komplexen veränderlichen Grösse. 1.–5. Auflage. Teubner (1882–1906, archive.org).
•  Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. 8. Auflage. Vieweg, Braunschweig 2003, ISBN 3-528-77247-6.
•  Joseph Anton Gmeiner, Otto Stolz: Einleitung in die Funktionentheorie. Bände 1. u. 2., Teubner, 1904.
•  Klaus Jänich: Funktionentheorie. 6. Auflage. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20392-3.
•  William Fogg Osgood: Lehrbuch der Funktionentheorie. Bände 1.2.3., Teubner, 1923 (hti.umich.edu).
•  Alfred Pringsheim: Vorlesungen über Funktionenlehre. Teubner, 1925 (Weierstrasscher Standpunkt).
•  Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1. 5. Auflage. Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-59075-7.
•  Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2. 3. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 3-540-40432-5.
•  Volker Scheidemann: Introduction to complex analysis in several variables. Birkhäuser, Basel 2005, ISBN 3-7643-7490-X.
•  Ian Stewart, David Tall: Complex Analysis. Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-24513-3.
•  Carl Johannes Thomae: Elementare Theorie der analytischen Functionen einer complexen Veränderlichen. Nebert, Halle (Saale) 1898 (resolver.library.cornell.edu).

Weblinks

 Wikibooks: Einführung in die Funktionentheorie – Lern- und Lehrmaterialien