Approximation

Annäherung an einen Kreis durch Fünfecke, Sechsecke und Achtecke

Viele mathematische Probleme lassen sich nur mittels Approximation (lat. proximus, „der Nächste“) durch ein geeignetes Näherungsverfahren lösen, heute meist mithilfe eines Computers.

Beispiele

Eine irrationale Zahl, die unendlich viele Nachkommastellen hat, kann prinzipiell nur durch einen gerundeten Näherungswert explizit angeschrieben werden, wie beispielsweise die Kreiszahl $LaTeX: \pi$, die das Verhältnis des Umfangs $LaTeX: U$ zum Durchmesser $LaTeX: d$ eines Kreises angibt:

$LaTeX: \pi = \frac{U}{d} = 3{,}1415926\ldots \approx 3{,}14$

Dieses grundsätzliche Problem der Quadratur des Kreises war schon den Griechen in der Antike bekannt. Archimedes löste das Problem näherungsweise geometrisch, indem er den Kreis durch eine Folge regelmäßiger Polygone mit immer mehr Ecken annäherte.

Viele Differentialgleichungen sind nicht exakt analytisch lösbar. Die betreffenden Funktionen werden dann häufig durch Polynome angenähert, die leicht differenzierbar und integrierbar sind. Zumeist verwendet man dann eine Taylorreihenentwicklung oder für periodische Funktionen die Fourier-Analyse.

In der klassischen Physik und Himmelsmechanik sind die Bewegungsgleichungen eines Systems dreier Körper nur näherungsweise numerisch lösbar und zeigen ein chaotisches Verhalten, das längerfristig nicht vorhersehbar ist. Auch in der Quantenmechanik ist nur das aus einem Proton und einem Elektron aufgebaute Wasserstoffatom exakt berechenbar. Größere Atome und Moleküle können mittels verschiedener Näherungsverfahren berechnet werden.

Literatur

•  Günter Meinardus: Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung (= Springer Tracts in Natural Philosophy). Springer Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg, New York 1964 (MR0176272).
• Lothar Collatz, Werner Krabs: Approximationstheorie. Tschebyscheffsche Approximation mit Anwendungen. Teubner, Stuttgart 1973, ISBN 3-519-02041-6.
• Manfred W. Müller: Approximationstheorie. Akademische Verlags-Gesellschaft, Wiesbaden 1978, ISBN 3-400-00375-1.
•  Ian Fleming: Molekülorbitale und Reaktionen organischer Verbindungen. John Wiley & Sons, 2012, ISBN 9783527330690, S. 1-11.
• Werner Kutzelnigg: Einführung in die Theoretische Chemie, Teil II: Die chemische Bindung. Wiley-VCH, Weinheim 2002, ISBN 3-527-30609-9.
• Joachim Reinhold: Quantentheorie der Moleküle. 3. Auflage, Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8351-0037-8.