Operator (Mathematik)

Ein Operator (von lat. operatio „Arbeit, Verrichtung, Betätigung“) ist eine mathematische Vorschrift für eine Rechenoperation, d.h. eine exakt definierte Handlungsanweisung, die auf ein oder mehrere mathematische Objekte, die Operanden, angewendet wird und durch diese mathematische Operation ein neues mathematisches Objekt erzeugt. Am bekanntesten sind die Operatoren für die vier Grundrechenarten zusammen mit dem Gleichheitsoperator:

Operator	Funktion	Beispiel
$LaTeX: +$	Addition	$LaTeX: 3 + 2 = 5$
$LaTeX: -$	Subtraktion	$LaTeX: 5 - 3 = 5 + (-1 \cdot 3) = 2$
$LaTeX: \cdot \quad \times$	Multiplikation	$LaTeX: 2 \cdot 3 = 2 \times 3 = 6$
$LaTeX: : \quad \div$	Division	$LaTeX: 6 : 3 = 6 \div 3 = 2$
$LaTeX: =$	Gleichheit	$LaTeX: 6 = 8 - 2$

Linearer Operator

Ein linearer Operator ist eine homogene und additive Abbildung $LaTeX: T$ , die einen reellen oder komplexen Vektorraum $LaTeX: X$ derart auf einen Vektorraum $LaTeX: Y$ abbildet, sodass für alle $LaTeX: x, y \in X$ und $LaTeX: \lambda \in \mathbb R$ (bzw. $LaTeX: \lambda \in \mathbb C$ ) gilt:

$LaTeX: T (\lambda x) = \lambda T(x)$	Homogenität
$LaTeX: T (x + y) = T(x) + T(y)$	Additivität

Differentialoperator

Ein Differentialoperator ordnet einer gegebenen Funktion eine Funktion zu, die deren Ableitung nach einer oder mehreren Variablen enthält. Handelt es sich dabei um einen linearen Operator, so liegt ein linearer Differentialoperator vor. Im Fall einer partiellen Ableitung spricht man von einem partiellen Differentialoperator.

Das einfachste und wichtigste Beispiel ist die gewöhnliche Ableitung nach einer Variablen:

$LaTeX: \frac{\mathrm d}{\mathrm d x}\colon f \mapsto \frac{\mathrm d}{\mathrm d x}f= \frac{\mathrm d f}{\mathrm d x} = f'$

Weitere, für die Vektoranalysis wichtige Beispiele sind die Operatoren Gradient (grad), Divergenz (div) und Rotation (rot), die mittels des Nabla-Operators $LaTeX: \nabla$ (auch $LaTeX: \vec{\nabla}$ , um den vektoriellen Charakter zu betonen) formuliert werden. Formal handelt es sich dabei um einen Vektor, dessen Komponenten die partiellen Ableitungsoperatoren $LaTeX: \textstyle\frac\partial{\partial x_i}$ sind: