Kreis

Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r

Ein Kreis ist eine ebene geometrische Figur. Er wird definiert als die Menge aller Punkte einer Ebene, die einen konstanten Abstand zu einem vorgegebenen Punkt dieser Ebene (dem Mittelpunkt) haben. Der Abstand der Kreispunkte zum Mittelpunkt ist der Radius (von lat. radius, wörtlich „Stab“, „Speiche“ oder „Strahl“) oder Halbmesser des Kreises, er ist eine positive reelle Zahl. Ein Kreis mit dem Radius 1 wird als Einheitskreis bezeichnet. Der Kreis gehört zu den klassischen und grundlegenden Objekten der euklidischen Geometrie. Er lässt sich aber auch anders als nach dieser klassischen Definition beschreiben, nämlich als Apollonius-Kreis. Benannt ist er nach antiken Mathematiker Apollonios von Perge. Er ist definiert als die Menge aller Punkte, für die das Verhältnis (d.h. der Quotient) der Entfernungen zu zwei gegebenen Punkten einen vorgegebenen konstanten Wert hat. Er wird deshalb gelegentlich auch als Quotientenkreis bezeichnet.

Kreiszahl

Schon die alten Ägypter und Babylonier versuchten, den Flächeninhalt des Kreises näherungsweise zu bestimmen. Besonders in der griechischen Antike war der Kreis wegen seiner Vollkommenheit von großem Interesse. Beispielsweise versuchte Archimedes erfolglos, mit den Werkzeugen Zirkel und Lineal den Kreis in ein Quadrat mit gleichem Flächeninhalt zu überführen, um so den Flächeninhalt des Kreises bestimmen zu können. Ein solches Verfahren zur Berechnung des Flächeninhalts nennt man die Quadratur des Kreises. Erst 1882 konnte Ferdinand von Lindemann durch Nachweis einer besonderen Eigenschaft der Kreiszahl zeigen, dass diese Aufgabe unlösbar ist.

Eine Näherung für die Kreisfläche

Die Kreiszahl $LaTeX: \pi = 3{,}1415926\ldots,$ ist eine irrationale Zahl, die als das aufgrund der Ähnlichkeit für alle Kreise gleiche Verhältnis ihres Umfangs $LaTeX: U$ zu deren Durchmesser $LaTeX: d$ definiert ist. Daraus ergibt sich die bekannte Formel für den Kreisumfang:

$LaTeX: U = d \pi = 2r \pi$

Die Flächenformel lässt sich anschaulich aus der nebenstehenden Zeichnung verstehen. Der Kreis wird dabei in immer feinere Sektoren zerlegt, die sich zu einem Rechteck mit der Breite $LaTeX: r \pi$ und der Höhe $LaTeX: r$ zusammenstellen lassen. Daraus ergibt sich die Formel für die Kreisfläche $LaTeX: A$:

$LaTeX: A = r^2 \pi$

Worterklärungen

Kreisflächen

Nach der eingangs genannten Definition ist ein Kreis eine Kurve, also ein eindimensionales Gebilde, und keine zweidimensionale Fläche. Da das Wort „Kreis“ aber oft ungenau auch für die eingeschlossene Fläche benutzt wird, verwendet man zur Verdeutlichung häufig die Begriffe Kreislinie, Kreisrand oder Kreisperipherie anstatt Kreis – im Gegensatz zur Kreisfläche oder Kreisscheibe. Mathematiker unterscheiden dann noch zwischen der abgeschlossenen Kreisfläche oder -scheibe und der offenen (oder dem Kreisinneren), je nachdem ob die Kreislinie dazugehört oder nicht.

Bogen, Sehne, Sektor, Segment und Ring

Kreisbogen, Kreissektor und Kreissegment

Kreisring

Eine zusammenhängende Teilmenge des Kreises (also der Kreislinie) ist ein Kreisbogen. Eine Verbindungsstrecke von zwei Punkten auf der Kreislinie bezeichnet man als Kreissehne Zu jeder Sehne gehören zwei Kreisbögen. Die längsten Kreissehnen sind diejenigen, die durch den Mittelpunkt verlaufen, also die Durchmesser. Die zugehörigen Kreisbögen heißen Halbkreise. Ist die Kreissehne kein Durchmesser, so sind die Kreisbögen unterschiedlich lang.

Ein Kreissektor (Kreisausschnitt) ist eine Fläche, die von zwei Radien und einem dazwischen liegenden Kreisbogen begrenzt wird. Bilden die zwei Radien einen Durchmesser, wird der Sektor auch als Halbkreis bezeichnet.

Kreissegmente (Kreisabschnitte) werden von einem Kreisbogen und einer Kreissehne eingeschlossen.

Ein Kreisring entsteht, wenn man aus einem Kreis einen kleineren Kreis mit demselben Mittelpunkt herausschneidet.

Tangente, Passante und Sekante

Für die Lage einer Geraden in Bezug auf einen gegebenen Kreis gibt es drei Möglichkeiten:

Beziehung von Kreis zu Tangente, Passante und Sekante

• Ist der Abstand zwischen Mittelpunkt und Gerade kleiner als der Kreisradius, so haben Kreis und Gerade zwei (verschiedene) Schnittpunkte und man nennt die Gerade Sekante (lateinisch secare = schneiden). Manchmal bezeichnet man den Spezialfall einer Sekante, die durch den Mittelpunkt eines Kreises verläuft, als Zentrale.
• Stimmt der Abstand des Mittelpunkts zu der Geraden mit dem Radius überein, so gibt es genau einen gemeinsamen Punkt. Man sagt, dass die Gerade den Kreis berührt, und nennt die Gerade eine Tangente (lateinisch tangere = berühren). Eine Tangente steht im Berührpunkt senkrecht (orthogonal, normal) zum entsprechenden Radius.
• Wenn der Abstand des Kreismittelpunkts von der Geraden größer ist als der Kreisradius, dann haben Kreis und Gerade keinen Punkt gemeinsam. In diesem Fall bezeichnet man die Gerade als Passante. Diese Bezeichnung hat keinen unmittelbaren lateinischen Ursprung, sondern wurde wohl nach franz. oder ital. passante = Vorbeigehende gebildet. Die lat. Wurzel ist passus = Schritt.

Die zweidimensionale Entsprechung der Tangente ist die Tangentialebene, die ein dreidimensionales Objekt (z. B. eine Kugel) in einem Punkt berührt.

Formale Definition

Ein Kreis mit Mittelpunkt $LaTeX: M$, Radius $LaTeX: r$ und Durchmesser $LaTeX: d$.

In einer Ebene $LaTeX: E$ ist ein Kreis $LaTeX: k$ mit Mittelpunkt $LaTeX: \mathrm{M} \in E$ und Radius $LaTeX: r > 0$ die Punktmenge

$LaTeX: k = \left\{\mathrm{X} \in E ~ \vert ~ \overline{\mathrm{MX}} = r \right\}.$

Dabei ist der Radius $LaTeX: r$ eine positive reelle Zahl, und $LaTeX: \overline{\mathrm{MX}}$ bezeichnet die Länge der Strecke $LaTeX: [\mathrm{MX}]$.

Der doppelte Radius heißt Durchmesser und wird oft mit $LaTeX: d$ bezeichnet. Radius $LaTeX: r$ und Durchmesser $LaTeX: d$ sind durch die Beziehungen $LaTeX: d = 2r$ oder $LaTeX: r = d/2$ miteinander verknüpft.

Manchmal wird auch jede Strecke, die den Mittelpunkt mit einem Punkt auf der Kreislinie verbindet, als Radius bezeichnet, und jede Strecke, die durch den Mittelpunkt geht, und deren beide Endpunkte auf der Kreislinie liegen, als Durchmesser. Bei dieser Sprechweise ist die Zahl $LaTeX: r$ die Länge jedes Radius und die Zahl $LaTeX: d$ die Länge jedes Durchmessers.

Die offene Kreisfläche ist formal definiert als die Punktmenge

$LaTeX: \left\{\mathrm{X} \in E ~ \vert ~ \overline{\mathrm{MX}} < r \right\},$

die abgeschlossene Kreisscheibe als

$LaTeX: \left\{\mathrm{X} \in E ~ \vert ~ \overline{\mathrm{MX}} \le r \right\}.$

Zu etlichen weiteren Themen siehe auch

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Literatur

• Dietrich Mahnke: Unendliche Sphäre und Allmittelpunkt - Beiträge zur Genealogie der mathematischen Mystik, Niemeyer, Halle (Saale) 1937 online
• Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Elementargeometrie. 3. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1385-5.
• Christian Bär: Elementare Differentialgeometrie. 2. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2010, ISBN 978-3-11-022458-0.
• Hartmut Wellstein, Peter Kirsche: Elementargeometrie. Eine aufgabenorientierte Einführung. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0856-1.
• Renatus Ziegler: Mathematik und Geisteswissenschaft: Mathematische Einführung in die Philosophie als Geisteswissenschaft in Anknüpfung an Plato, Cusanus, Goethe, Hegel und Steiner, Verlag am Goetheanum, Dornach 1992, ISBN 978-3723506455

Weblinks

Commons: Kreis - Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema

 Wikibooks: Beweis der Transzendenz von e und π – im Beweisarchiv

 Wiktionary: Kreis – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• „Mathematische Basteleien“ zum Kreis
• Der Kreis - Geometrie einfach erklärt YouTube