Gleichung

Eine Gleichung ist eine mittels des Gleichheitszeichens (=) symbolisierte mathematische Aussage über die Gleichheit zweier Terme T₁ (linke Seite) und T₂ (rechte Seite):

$LaTeX: T_1 = T_2$

Algebraische Gleichung

Eine algebraische Gleichung lässt sich ganz allgemein durch ein Polynom $LaTeX: P_n(x)$ $LaTeX: n$-ten Grades über dem Körper $LaTeX: K$ ausdrücken:

$LaTeX: P_n(x) = 0$

mit $LaTeX: P_n(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dotsb + a_1 x + a_0 =\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$

Homogene Gleichung

Eine homogene Gleichung hat die allgemeine Form:

$LaTeX: T(x) = 0$

$LaTeX: x$ ist eine Nullstelle der Funktion $LaTeX: T(x)$.

Eigenwertgleichung

Eine Eigenwertgleichung hat die allgemeine Form:

$LaTeX: T(x) = \lambda x$

Die Lösung des Eigenwertproblems besteht darein, die Eigenwerte $LaTeX: \lambda$ und die zugehörigen Eigenvektoren $LaTeX: x\neq 0$ zu ermitteln. Eigenwertproble sind in der linearen Algebra häufig zu lösen, etwa bei der Analyse und Zerlegung von Matrizen, oder auch in der Quantenphysik, wenn es etwa darum geht, mittels der Schrödingergleichung die Energieeigenwerte eines quantenmechanischen Systems zu ermitteln.

Lineare Gleichung

Eine lineare Gleichung enthält nur Unbekannte in der ersten Potenz ($LaTeX: n = 1$) und lautet im einfachsten Fall mit der Variablen $LaTeX: x$ und den konstanten Parametern $LaTeX: a, b$:

$LaTeX: a \cdot x + b = 0$

Lineare Gleichungen sind in der Regel einfacher zu lösen als nichtlineare Gleichungen. Nach dem Superpositionsprinzip sind alle Linearkombination ihrer Lösungen ebenfalls Lösungen der Gleichung.

Quadratische Gleichung

Eine quadratische Gleichung ($LaTeX: n = 2$) hat demgegenüber die allgemeine Form:

$LaTeX: ax^2+bx+c=0\quad$

Diophantische Gleichung

Eine Diophantische Gleichung, benannt nach Diophantos von Alexandria (um 250), ist eine algebraische Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten, für die ausschließlich ganzzahlige Lösungen gesucht werden, also z.B.:

$LaTeX: 2x^3 - x^2 - 8x = -4 \quadd x \in\mathbb Z$ hat die Lösungen $LaTeX: x=\pm 2$

Ein weiteres Beispiel sind die pythagoräischen Zahlentripel:

$LaTeX: x^2 + y^2 = z^2$

für die die Formeln

$LaTeX: x = u^2 - v^2$

$LaTeX: y = 2uv$

$LaTeX: z = u^2 + v^2$

für beliebige $LaTeX: u, v \in \mathbb N, u>v$ gültige Lösungen liefern.

Fermats letzter Satz

Durch Verallgemeinerung erhält man aus den pythagoräischen Zahlentripeln diophantische Gleichungen vom Grad $LaTeX: n$:

$LaTeX: x^n + y^n = z^n$

Nach dem berühmten letzten Satz von Fermat, der im 17. Jahrhundert von Pierre de Fermat (1607-1665) aufgestellt wurde, gibt es für diese Gleichung für $LaTeX: n>2$ keine ganzzahligen Lösungen. Der lange gesuchte Beweis für diese Begauptung wurde erst 1994 von Andrew Wiles erbracht.

Exponentialgleichung

Bei einer Exponentialgleichung steht zumindest eine Unbekannte wenigstens einmal im Exponenten, z.B:

$LaTeX: b^x = a$

Sie kann durch Logarithmieren gelöst werden:

$LaTeX: x = \log_b a$

Differentialgleichung

Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung für eine gesuchte, von einer oder mehreren Variablen abhängige Funktion, in der auch Ableitungen dieser Funktion vorkommen. Sie sind ein in den Wissenschaften häufig gebrauchtes Mittel zur mathematischen Modellierung von Teilbereichen der Wirklichkeit.

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Bei gewöhnlichen Differentialgleichungen hängt die gesuchte Funktion $LaTeX: f(x)$ nur von einer Variablen $LaTeX: x$ ab.

Partielle Differentialgleichungen

Bei partiellen Differentialgleichung hängt die gesuchte Funktion $LaTeX: f(x_1, x_2, \dots, x_n)$ von mehreren Variablen ab und es treten darin auch partielle Ableitung nach den verschiedenen Variablen auf.

Gleichungssystem

Ein Gleichungssystem besteht aus zwei oder mehr Gleichungen, dessen Lösungen für alle ihm anghörigen Gleichungen erfüllt sein müssen. Ein lineares Gleichungssystem besteht nur aus linearen Gleichungen.

Siehe auch

• Gleichung - Artikel in der deutschen Wikipedia

Literatur

• Gerhard Kowol: Gleichungen: Eine historisch-phänomenologische Studie, Verlag Freies Geistesleben, Stuttgart 1990, ISBN 978-3772509292