Bijektive Funktion

Eine bijektive Funktion

Eine bijektive Funktion, kurz auch Bijektion genannt, ist eine bijektive, d.h. umkehrbar eindeutige Abbildung zwischen zwei Mengen.

Zur Veranschaulichung kann man sagen, dass bei einer Bijektion eine vollständige Paarbildung zwischen den Elementen von Definitionsmenge und Zielmenge stattfindet. Bijektionen behandeln ihren Definitionsbereich und ihren Wertebereich also symmetrisch; deshalb hat eine bijektive Funktion immer eine Umkehrfunktion.

Bei einer Bijektion haben die Definitionsmenge und die Zielmenge stets dieselbe Mächtigkeit. Im Falle, dass eine Bijektion zwischen zwei endlichen Mengen vorliegt, ist diese gemeinsame Mächtigkeit eine natürliche Zahl, nämlich genau die Anzahl der Elemente jeder der beiden Mengen.

Definition

Seien $LaTeX: X$ und $LaTeX: Y$ Mengen und sei $LaTeX: f$ eine Funktion, die von $LaTeX: X$ nach $LaTeX: Y$ abbildet, also $LaTeX: f \colon X \to Y$. Dann heißt $LaTeX: f$ bijektiv, wenn für alle $LaTeX: y \in Y$ genau ein $LaTeX: x \in X$ mit $LaTeX: f\left(x\right) = y$ existiert.

Das bedeutet: $LaTeX: f$ ist bijektiv dann und nur dann, wenn $LaTeX: f$ sowohl

(1) injektiv ist:

Kein Wert der Zielmenge $LaTeX: Y$ wird mehrfach angenommen. Mit anderen Worten: Das Urbild jedes Elements der Zielmenge $LaTeX: Y$ besteht aus höchstens einem Element von $LaTeX: X$. Aus $LaTeX: f(x_1)=f(x_2)$ folgt daher immer $LaTeX: x_1=x_2$.

als auch

(2) surjektiv ist:

Jedes Element der Zielmenge $LaTeX: Y$ wird angenommen. Mit anderen Worten: Die Zielmenge $LaTeX: Y$ und die Bildmenge $LaTeX: f(X)$ stimmen überein, also $LaTeX: f\left(X\right) = Y$. Für jedes $LaTeX: y$ aus $LaTeX: Y$ existiert daher (mindestens) ein $LaTeX: x$ aus $LaTeX: X$ mit $LaTeX: f(x) = y$.

Literatur

•  Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. 4. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg [u. a.] 2003, ISBN 3-8274-1411-3.
•  Gerd Fischer: Lineare Algebra. 17. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-0996-4.
•  Fachlexikon ABC Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt/Main 1978, ISBN 3-87144-336-0.

Weblinks

 Wikibooks: Beweisarchiv: Mengenlehre – Lern- und Lehrmaterialien