Noether-Theorem

Das Noether-Theorem (formuliert 1918 von Emmy Noether) verknüpft elementare physikalische Größen wie Ladung, Energie und Impuls mit geometrischen Eigenschaften, nämlich der Invarianz (Unveränderlichkeit) der Wirkung unter Symmetrietransformationen:

Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines physikalischen Systems gehört eine Erhaltungsgröße.

Dabei ist eine Symmetrie eine Transformation (zum Beispiel eine Drehung oder Verschiebung), die das Verhalten des physikalischen Systems nicht ändert. Es gilt auch die Umkehrung:

Jede Erhaltungsgröße ist Generator einer Symmetriegruppe.

Eine Erhaltungsgröße eines Systems von Teilchen ist eine Funktion der Zeit $LaTeX: t$, der Orte $LaTeX: x$ und der Geschwindigkeiten $LaTeX: v$ der Teilchen, deren Wert sich auf jeder von ihnen im Laufe der Zeit durchlaufenen Bahn $LaTeX: x(t)$ nicht ändert. So ist die Energie $LaTeX: E(t,x,v)=\tfrac{1}{2}\, m\, v^2 + V(x)$ eines nichtrelativistischen Teilchens der Masse $LaTeX: m$, das sich im Potential $LaTeX: V$ bewegt, eine Erhaltungsgröße. Das heißt, für jede Bahn $LaTeX: x(t)$, die der Bewegungsgleichung $LaTeX: m \tfrac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}+ \mathrm{grad}\,V(x)=0$ genügt, gilt zu jeder Zeit $LaTeX: t$:

$LaTeX: E \bigl(t,x(t), \tfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) \bigr) = E \bigl(0,x(0),\tfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(0) \bigr)$.

Beispiele für Symmetrien und zugehörige Erhaltungsgrößen

• Aus der Homogenität der Zeit (Wahl der Startzeit spielt keine Rolle) folgt die Erhaltung der Energie (Energieerhaltungssatz). So bleibt die Energie eines Pendels bei Vernachlässigung von Reibung stets gleich, nicht aber die Energie einer Schaukel, auf der ein Kind durch Heben und Senken seines Körpers die Länge von der Aufhängung bis zum Schwerpunkt zeitlich verändert.
• Aus der Homogenität des Raums (Wahl des Startortes spielt keine Rolle) ergibt sich die Erhaltung des Impulses (Impulserhaltungssatz). So ist der Impuls eines freien Teilchens konstant, nicht aber der Impuls eines Teilchens im Gravitationsfeld der Sonne; ihr Ort ist für die Bewegung des Teilchens wesentlich. Weil sich ein freies Teilchen der Masse $LaTeX: m$ unverändert mit gleichförmiger Geschwindigkeit $LaTeX: v$ bewegt, wenn es ein gleichförmig bewegter Beobachter betrachtet, ist der gewichtete Startort, $LaTeX: S(t,x,v)=m \,(x - t\,v)$, eine Erhaltungsgröße, $LaTeX: S(t,x(t),v(t))=m \, x(0)$. Auf mehrere Teilchen verallgemeinert folgt, dass sich der Schwerpunkt mit gleichförmiger Geschwindigkeit bewegt, wenn die Gesamtkraft verschwindet.
• Aus der Isotropie des Raums, also der Rotationsinvarianz (Richtung im Raum spielt keine Rolle), ergibt sich die Erhaltung des Drehimpulses (Drehimpulserhaltungssatz). So bleibt der Drehimpuls eines Teilchens im Gravitationsfeld der Sonne erhalten, denn das Gravitationspotential $LaTeX: -G\,m\,M \tfrac{1}{r}$ ist in allen Richtungen gleich.

Die Symmetrien, die zur Erhaltung der elektrischen Ladung und anderer Ladungen von Elementarteilchen gehören, betreffen Wellenfunktionen von Elektronen, Quarks und Neutrinos. Jede solche Ladung ist ein lorentzinvarianter Skalar, das heißt, sie hat in allen Bezugssystemen denselben Wert, anders als beispielsweise der Drehimpuls, die Energie oder der Impuls.

Zu vielen weiteren Themen siehe auch

• Noether-Theorem - Artikel in der deutschen Wikipedia

Siehe auch

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Literatur

• E. Noether: Invarianten beliebiger Differentialausdrücke. In: Gött. Nachr. 1918, S. 37–44. Zusammenfassung im Zentralblatt MATH.
• E. Noether: Invariante Variationsprobleme. In: Gött. Nachr. 1918, S. 235–257. Zusammenfassung im Zentralblatt MATH.