Gruppe (Mathematik)

Auch die Drehungen eines Zauberwürfels (eng. Rubik’s Cube) bilden eine Gruppe.

Als Gruppe wird in der Mathematik eine Menge von Elementen zusammen mit einer zweistelligen Verknüpfung (z.B. Addition, Multiplikation), durch die jeweils zwei Elementen ein drittes Element derart zugeodnet wird, dass dabei folgende drei Gruppenaxiome erfüllt sind:

1. Es gilt das Assoziativgesetz, d.h. $LaTeX: a \star \left( b \star c \right) = \left( a \star b \right) \star c$
2. Es existiert ein neutrales Element $LaTeX: e$, sodass $LaTeX: e \star a = a$ (linksneutral) oder $LaTeX: a \star e = a$ (rechtsneutral). Wird auch das Kommutativgesetz erfüllt, ist $LaTeX: e \star a = a \star e = a$.
3. Es gibt inverse Elemente $LaTeX: a^{-1}$, sodass $LaTeX: a^{-1} \star a = e$ und/oder $LaTeX: a \star a^{-1} = e$

Abelsche Gruppe

Für eine abelsche Gruppe ist zusätzlich auch das Kommutativgesetz erfüllt, d.h. $LaTeX: a \star b = b \star a$. Die wichtigste und bekannteste abelsche Gruppe ist $LaTeX: (\mathbb Z,+,0)$, die aus der Menge der ganzen Zahlen $LaTeX: \{\ldots, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, \ldots\}$ und der gewöhnlichen Addition $LaTeX: +$ besteht.

Halbgruppe

Eine Halbgruppe erfüllt nur die beiden ersten Bedingungen. So bildet etwa die Menge der natürlichen Zahlen $LaTeX: \mathbb N_0 = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$ zusammen mit der gewöhnlichen Addition die kommutative (abelsche) Halbgruppe $LaTeX: (\mathbb N_0,+,0)$. Im Gegensatz zur der abelschen Gruppe $LaTeX: (\mathbb Z,+,0)$ der ganzen Zahlen $LaTeX: \mathbb Z = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$ fehlt hier die ganze „Hälfte“ der negativen Zahlen und damit die inversen Elemente.

Gruppentheorie

Gruppentheorie - Artikel in der deutschen Wikipedia

Die mathematische Disziplin, die sich mit den Gruppen beschäftigt, heißt Gruppentheorie.

Siehe auch

• Gruppentheorie - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Gruppe (Mathematik) - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Abelsche Gruppe - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Halbgruppe - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Ring (Algebra)
• Körper (Algebra)