Ellipsoid

Kugel (oben, a=4),
Rotationsellipsoid (unten links, a=b=5, c=3),
triaxiales Ellipsoid (unten rechts, a=4.5, b=6, c=3)

Ein Ellipsoid ist die 3-dimensionale Entsprechung einer Ellipse. So wie sich eine Ellipse als affines Bild des Einheitskreises auffassen lässt, gilt:

• Ein Ellipsoid (als Fläche) ist ein affines Bild der Einheitskugel $LaTeX: x^2+y^2+z^2=1.$

Die einfachsten affinen Abbildungen sind die Skalierungen der (kartesischen) Koordinaten. Sie liefern Ellipsoide mit Gleichungen

• $LaTeX: E_{abc}: \quad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,\quad a,b,c >0.$

Solch ein Ellipsoid ist punktsymmetrisch zum Punkt $LaTeX: (0,0,0)$, dem Mittelpunkt des Ellipsoids. Die Zahlen $LaTeX: a,b,c$ sind (analog zu einer Ellipse) die Halbachsen des Ellipsoids und die Punkte $LaTeX: (\pm a,0,0), (0,\pm b,0), (0,0,\pm c)$ ihre 6 Scheitel.

• Falls $LaTeX: a=b=c$ ist, ist das Ellipsoid eine Kugel.
• Falls genau zwei Halbachsen übereinstimmen, ist das Ellipsoid ein Rotationsellipsoid.
• Falls die 3 Halbachsen alle verschieden sind, heißt das Ellipsoid triaxial oder dreiachsig.

Alle Ellipsoide $LaTeX: E_{abc}$ sind symmetrisch zu den 3 Koordinatenebenen. Beim Rotationsellipsoid kommt die Rotationssymmetrie bezüglich der Rotationsachse noch hinzu. Eine Kugel ist zu jeder Ebene durch den Mittelpunkt symmetrisch.

Jupiters Durchmesser von Pol zu Pol ist deutlich kleiner als am Äquator (zum Vergleich roter Kreis).

Angenäherte Beispiele für Rotationsellipsoide sind der Rugbyball und rotierende Himmelskörper, etwa die Erde oder andere Planeten (Jupiter), Sonnen oder Galaxien. Elliptische Galaxien können auch triaxial sein.

In der Linearen Optimierung werden Ellipsoide in der Ellipsoid-Methode verwendet.

Siehe auch

• Ellipsoid - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Hyperboloid - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Paraboloid - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Rotationsellipsoid - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Rotationshyperboloid - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Rotationsparaboloid - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Konfokale Quadriken - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Homöoid - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Fokaloid - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Referenzellipsoid - Artikel in der deutschen Wikipedia in der Kartografie

Weblinks

• Online-Berechnung von Volumen und Oberfläche eines Ellipsoids (englisch)
• Herleitung der Formel für die Oberfläche eines Ellipsoids (englisch)
• Mathematische Basteleien: Ellipsoid