Dirac-Notation

Die Dirac-Notation, auch Bra-Ket-Notation, ist in der Quantenmechanik eine Notation für quantenmechanische Zustände. Die Notation geht auf Paul Dirac zurück. Die ebenfalls von ihm eingeführte Bezeichnung Bra-Ket-Notation ist ein Wortspiel mit der englischen Bezeichnung für eine Klammer (bracket). In der Bra-Ket-Notation wird ein Zustand ausschließlich durch seine Quantenzahlen charakterisiert.

In der Bra-Ket-Notation schreibt man die Vektoren eines Vektorraums $LaTeX: V$ auch außerhalb eines Skalarprodukts mit einer spitzen Klammer als Ket $LaTeX: | v \rang$. Jedem Ket $LaTeX: | v \rang$ entspricht ein Bra $LaTeX: \lang v | \, ,$ der dem Dualraum $LaTeX: V^*$ angehört, also eine lineare Abbildung von $LaTeX: V$ in den zu Grunde liegenden Körper $LaTeX: K$ repräsentiert, und umgekehrt. Das Ergebnis der Operation eines Bras $LaTeX: \lang v |$ auf einen Ket $LaTeX: | w \rang$ wird $LaTeX: \lang v | w \rang$ geschrieben, womit der Zusammenhang mit der konventionellen Notation des Skalarprodukts hergestellt ist.

Darstellung

Sei $LaTeX: v$ ein Vektor eines komplexen $LaTeX: m$-dimensionalen Vektorraums $LaTeX: \left(v \in \Complex^m\right)$. Der Ket-Ausdruck $LaTeX: \left| v \right\rangle$ kann als vertikaler Vektor mit komplexen Elementen $LaTeX: v_n$ ($LaTeX: v_n \in \Complex$) dargestellt werden:

$LaTeX: \left| v \right\rangle \doteq \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ \vdots \\ v_m \end{pmatrix}$

Wichtig ist dabei, dass $LaTeX: \left| v \right\rangle$ und der dazugehörige transponierte Vektor$LaTeX: (v_1, v_2, v_3, \dots, v_m)^T$ nicht dasselbe mathematische Objekt sind und somit kein Gleichheitszeichen verwendet werden darf. Dies wird insbesondere daran deutlich, dass die Bra-Ket-Schreibweise von der Wahl einer Basis unabhängig ist, während die Darstellung durch Koordinatenvektoren die Wahl einer Basis voraussetzt. Stattdessen sollte deutlich gemacht werden, dass es sich bei $LaTeX: (v_1, v_2, v_3, \dots, v_m)^T$ um die Darstellung von $LaTeX: \left| v \right\rangle$ handelt. Dies kann durch die Verwendung von Zeichen wie $LaTeX: \Rightarrow$, $LaTeX: \doteq$, $LaTeX: \leftrightarrow$ etc. erfolgen.

Der Bra-Ausdruck $LaTeX: \left\langle v \right|$ kann demnach als horizontaler Vektor mit den konjugierten Werten dargestellt werden:

$LaTeX: \left\langle v \right| \doteq \begin{pmatrix} v_1^* && v_2^* && v_3^* && \dotso && v_m^* \end{pmatrix}$