Arbeit (Physik)

Arbeit (Formelzeichen $LaTeX: W$ von eng. work) ist in der Physik die Energie, die durch Kräfte auf einen Körper übertragen wird. Man sagt: „An dem Körper wird Arbeit verrichtet“ oder „Arbeit geleistet“. Das geschieht, indem eine Kraft längs eines Weges auf ihn einwirkt. Die geleistete Arbeit berechnet sich in diesem einfachsten Fall als Produkt aus der in Wegrichtung wirkenden Kraft mit der Wegstrecke. Bei nicht geradlinigen Wegen und nicht konstanten Kräften ist die Arbeit das Kurvenintegral über das Skalarprodukt aus Kraft und Weg.

Da Arbeit mechanisch (oder elektrisch, elektromagnetisch, …) übertragene Energie ist, bezeichnet man in diesem Zusammenhang die Energie auch als gespeicherte Arbeit beziehungsweise als die Fähigkeit, Arbeit zu verrichten.

In der Thermodynamik ist die Arbeit eine Prozessgröße. Auf ein System kann Energie auf zwei Arten übertragen werden: In Form von Wärme­zufuhr $LaTeX: Q$ (z. B. durch Heizung) oder auf mechanische Weise (z. B. durch Kompression). Da bei der Kompression eine Kraft längs eines Weges wirkt, wird die übertragene Energie als Arbeit (Symbol $LaTeX: W$) bezeichnet. In beiden Fällen ändert sich gemäß dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik die innere Energie $LaTeX: U$ des Systems.

Die SI-Einheit für Arbeit ist identisch mit der für Energie: das Joule (Einheitenzeichen J). Aus dem Bezug der Arbeit zur Kraft (SI-Einheit Newton) und Leistung (SI-Einheit Watt) ergeben sich die SI-abgeleiteten Einheiten Newtonmeter (Nm) und Wattsekunde (Ws): Es gilt 1 J = 1 Nm = 1 Ws. Häufig werden zudem die Einheiten Wattstunde (Wh) beziehungsweise Kilowattstunde (kWh) verwendet.

Mit spezifischer Arbeit (Formelzeichen $LaTeX: w$) ist in der Thermodynamik das auf die Masse des Strömungsfluides bezogene Arbeitsvermögen, Einheit J/kg, gemeint (siehe auch Totalenthalpie).

Definition

Kraft-Weg-Diagramm bei konstanter Kraft. Die markierte Fläche bemisst die verrichtete Arbeit.

Arbeit wird in der Mechanik definiert als das Skalarprodukt aus Kraft und Weg: Wenn auf einen Körper auf der geraden Strecke vom Punkt A zum Punkt B eine konstante Kraft $LaTeX: \vec F$ wirkt, dann wird am Körper die Arbeit

$LaTeX: W = \vec F \cdot \vec s = |\vec F| \, |\vec s| \, \cos\sphericalangle\left(\vec F, \vec s\right)\,$

verrichtet. Dabei ist $LaTeX: \vec s$ der Vektor von A nach B, und sein Skalarprodukt mit dem Vektor $LaTeX: \vec F$ ist das Produkt der Beträge $LaTeX: |\vec F|$ und $LaTeX: |\vec s|$ mal dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels.

Die Bedeutung des physikalischen Begriffs Arbeit beruht auf folgendem Sachverhalt: Beschleunigt die betrachtete Kraft den Körper, so erhöht sich seine kinetische Energie auf dem Weg von A nach B um die an ihm verrichtete Arbeit.

Wirkt die konstante Kraft in Richtung des zurückgelegten Weges, dann ist die Arbeit das Produkt der Beträge $LaTeX: W = |\vec F| \, |\vec s|\,$, da der Winkel null und sein Kosinus = 1 ist.

Ist die Richtung der Kraft der Bewegungsrichtung entgegengesetzt, dann bilden die beiden Vektoren einen Winkel von 180°, dessen Kosinus der Wert −1 ist. In diesem Fall wird an dem Körper eine negative Arbeit verrichtet, das heißt ihm wird Energie entnommen, er wird langsamer.

Ist die Richtung der Kraft senkrecht zum Weg, dann wird keine physikalische Arbeit verrichtet. Der physikalische Begriff entspricht also nicht dem alltäglichen Verständnis, nach dem jeder Kofferträger für seine verrichtete Arbeit bezahlt wird.

Kraft-Weg-Diagramm bei veränderbarer Kraft. Die markierte Fläche bemisst die verrichtete Arbeit.

Wenn die Kraft nicht entlang des gesamten Weges konstant ist oder der Weg nicht gerade ist, so kann man die Arbeit näherungsweise berechnen, indem man den Weg durch einen Streckenzug aus N geraden Teilstücken $LaTeX: \Delta \vec s_i$ mit $LaTeX: i = (1, 2, 3, \dots, N)$ nähert, auf denen die Kraft $LaTeX: \vec F(s_i)$ jeweils näherungsweise als konstant angenommen werden kann. Die entlang des gesamten Weges verrichtete Arbeit ergibt sich dann näherungsweise durch Aufsummierung der Arbeiten entlang der einzelnen Wegstücke als

$LaTeX: W \approx \sum_{i=1}^{N} W_i= \sum_{i=1}^{N} \vec F(\vec s_i) \cdot \Delta \vec s_i\,.$ Mit $LaTeX: \sum$ als Summenzeichen.

Um den genauen Wert zu erhalten, wählt man die Wegstücke immer kleiner, so dass ihre Länge gegen Null und ihre Anzahl gegen unendlich geht. Der Grenzwert der Summe ist das Weg- oder Kurvenintegral.

$LaTeX: W=\int_{\vec s_1}^{\vec s_2} \vec F(\vec s)\cdot\mathrm d \vec s\,\mathrm{,}$

wobei $LaTeX: \vec s_1\,$ den Anfangs- und $LaTeX: \vec s_2\,$ den Endpunkt des Weges bezeichnen.

Mittels der Variablensubstitution $LaTeX: \text{d}\vec{s}=\vec{v}\,\text{d}t$ lässt sich das Arbeitsintegral mit der Geschwindigkeit $LaTeX: \vec{v}(t)$ umschreiben zu

$LaTeX: W=\int_{t_1}^{t_2} \vec{F}(t)\, \vec{v}(t) \, \text{d}t$

Ist die Kraft $LaTeX: \vec F(\vec s)$ der Gradient eines Potentials

$LaTeX: \vec F(\vec s) = \nabla V(\vec s)\mathrm{,}$

dann handelt es sich um eine konservative Kraft. In diesem Fall hängt der Wert des Integrals – also die Arbeit – nur von dem Start- und dem Endpunkt ab, jedoch nicht von dem genauen Verlauf des Weges. Man kann die Arbeit in einem Potenzialfeld also auch einfach durch die Differenz der potentiellen Energien berechnen:

$LaTeX: W = V(\vec s_2) - V(\vec s_1)$

Umgekehrt ist die potentielle Energie an einem bestimmten Ort gleich der Arbeit, die erforderlich ist, um den Probekörper von einem zuvor festgelegten Nullniveau dorthin zu bringen.

Handelt es sich bei dem Weg um eine geschlossene Kurve (sprich: sind der Start- und der Endpunkt identisch), dann ist die Arbeit Null.

Dissipativen Kräften liegt jedoch kein Potenzialfeld zugrunde. Dies ist z. B. bei der Reibung der Fall. Hier kommt die Arbeit nicht der potenziellen oder kinetischen Energie des Probekörpers zugute, sondern der inneren Energie des Systems. Die Dissipation von Arbeit ist ein irreversibler Prozess. Dabei erhöht sich die Entropie des Systems, ohne dass Wärme von außen zugeführt wurde.

Kraftwandler und Goldene Regel der Mechanik

Will man eine bestimmte Arbeit mit geringerer Kraft leisten, so ist dies mit einem Kraftwandler möglich. Beispiele für Kraftwandler sind Flaschenzüge, Hebel oder Getriebe. Jedoch verlängert sich der Weg über den die Kraft aufgebracht werden muss. Wird beispielsweise durch Verwendung eines Kraftwandlers nur ein Viertel der ohne ihn erforderlichen Kraft benötigt, so ist dies mindestens mit einer Vervierfachung des Weges verbunden. Diese Konsequenz des Energieerhaltungssatzes beschreibt die „Goldene Regel der Mechanik“.

Beispiele

• Hubarbeit: Arbeit, die an einem ruhenden Körper der Masse $LaTeX: m$ verrichtet werden muss, um ihn im homogenen Schwerefeld mit Erdbeschleunigung $LaTeX: g$ um die Hubhöhe $LaTeX: h$ zu heben

Die zum Heben benötigte Kraft beträgt (in Folge der Schwerkraft): $LaTeX: F = m\, g$,

Die zurückgelegte Strecke $LaTeX: s$ entspricht der Höhe $LaTeX: h$.

Damit beträgt die geleistete Hubarbeit: $LaTeX: W_H = F \, s = m\, g\, h.$

• Spannarbeit, auch Federarbeit, um eine zunächst ungespannte Feder um die Strecke $LaTeX: s$ zu dehnen:

Die (Spann-)Kraft einer Feder der Federkonstante $LaTeX: D$ beträgt bei der Federdehnung $LaTeX: x$: $LaTeX: F(x) = D\,x$.

Da die Kraft längs des Weges nicht konstant ist, tritt an Stelle des Produkts $LaTeX: W = F\, s$ das Integral $LaTeX: W = \int^s_0 F(x)\, dx$.

Damit beträgt die verrichtete Spannarbeit: $LaTeX: W_S = \int^s_0 D x\, dx = \frac 1 2 \, D \, s^2$.

• Beschleunigungsarbeit: Eine Masse $LaTeX: m$ wird aus der Ruhe auf eine Geschwindigkeit $LaTeX: v$ beschleunigt:

$LaTeX: W_B = \frac{1}{2} \, m \, v^2\,.$

• Kompressionsarbeit: Arbeit, die an einem Gas verrichtet werden muss, um es vom Volumen $LaTeX: V_1$ auf das Volumen $LaTeX: V_2$ zu verdichten:

$LaTeX: W = -\int_{V_1}^{V_2} p \, \mathrm d V.$

Das negative Vorzeichen stammt aus der Konvention, dass die von außen zugeführte Arbeit positiv zu werten ist. Der Druck $LaTeX: p$ kann (je nach Art der Zustandsänderung) variabel oder konstant sein.

Bei konstantem Druck wird daraus die Druck-Volumen-Arbeit, z. B. bei der Förderung eines Flüssigkeitsvolumens $LaTeX: V$ gegen einen konstanten Förderungshinderungsdruck.

$LaTeX: W_{DV} = p \, V\,.$

• Elektrische Arbeit: Um die positive Ladungsmenge $LaTeX: Q$ von einem Punkt zu einem anderen zu bewegen, zwischen welchen die Elektrische Spannung $LaTeX: U$ herrscht, muss die Arbeit

$LaTeX: W_\mathrm{el}=-\,Q\,U$

verrichtet werden. Hierbei ist das Vorzeichen der Spannung so gewählt worden, dass sie positiv ist, wenn das elektrische Potential am Anfang höher ist als am Ende.

• Thermische Arbeit, wenn zum Beispiel ein Tauchsieder kaltes Wasser und elektrische Arbeit (kWh) in heißes Wasser umwandelt.

• Reibungsarbeit: Im einfachsten Fall, bei makroskopischen Körpern, definiert als Produkt aus Reibungskraft und Weg, also $LaTeX: W=\vec F_\mathrm{Reib} \cdot \vec s$. Allgemein wird hier mechanische Energie in Innere Energie umgewandelt. Siehe auch Dissipation.

• Ein Beispiel aus der Physiologie: Die Herzarbeit setzt sich aus der Druck-Volumen-Arbeit und der Beschleunigungsarbeit durch Addition der Arbeit der beiden Ventrikel zusammen.

Siehe auch

• Arbeit (Physik) - Artikel in der deutschen Wikipedia

Literatur

• Christian Gerthsen, Dieter Meschede (Hrsg.): Physik. 23. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2006, ISBN 3-540-25421-8.
•  Joachim Grehn (Hrsg.): Metzler Physik. 4. Auflage. Schroedel Schulbuchverlag, Hannover 2007, ISBN 978-3-507-10710-6.

Weblinks

• Erklärung von Arbeit und Energie für Schüler
• Arbeit auf Schülerniveau erklärt (LEIFI)