Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit oder Probabilität (lat. probabilitas „Glaubhaftigkeit, Wahrscheinlichkeit“, von probare „prüfen, untersuchen, erproben, beurteilen, anerkennen“; eng. probability) gibt den Grad der Gewissheit der Vorhersage an, dass ein bestimmtes Ereignis eintreten wird. Ihre mathematische Behandlung ist Gegenstand der Wahrscheinlichkeitsrechnung bzw. Wahrscheinlichkeitstheorie.

Klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff von Laplace

Nach der klassischen Definition von Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) errechnet sich bei Zufallsereignissen (z.B. beim Würfelspiel) die Wahrscheinlichkeit aus dem Verhältnis der günstigen Ergebnisse zur Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse. So können etwa mit einem idealen Spielwürfel mit gleicher Wahrscheinlichkeit die sechs Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, oder 6 geworfen werden. Die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu werfen, ihr Wahrscheinlichkeitsmaß $LaTeX: w_6$, beträgt also genau 1/6. Die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu werfen, ist hingegen 1/2, da genau die Hälfte aller möglichen Zahlen gerade Zahlen sind, nämlich 2, 4 und 6. Die Gesamtwahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu werfen, ergibt sich dabei aus der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ein 2, 4 oder 6 zu werfen, die jeweils 1/6 beträgt, d.h.:

$LaTeX: w_{gerade} = w_2 + w_4 + w_6 = \frac16 + \frac16 + \frac16 = \frac36 = \frac12$

Die Wahrscheinlichkeit, bei zwei hintereinander ausgeführten Würfen jedesmal eine 6 zu werfen, errechnet sich hingegen aus dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten:

$LaTeX: w_{gesamt} = w_6 \times w_6 = \frac16 \times \frac16 = \frac{1}{36}$

Objektivistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff

Objektivistische Wahrscheinlichkeitsbegriffe gehen davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit, mit der bestimmte Ereignisse auftreten, durch objektive physikalische Gegebenheiten bzw. durch unvermeidbare Messabweichungen bestimmt wird.

Determinismus

→ Hauptartikel: Determinismus

Der Determinismus beruht auf der metaphysischen Annahme, dass alle in der Welt vorkommenden Ereignisse durch die Naturgesetze und die gegebenen Anfangsbedingungen zu 100% bestimmt sind und daher zwingend eintreten müssen - auch wenn sich das natürlich weder theoretisch noch praktisch jemals beweisen lässt. Ob man sich dabei auf die göttliche Vorsehung oder auf den streng kausalen Determinismus der klassischen Mechanik beruft, mach diesbezüglich keinen Unterschied.

Frequentistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff

Der Frequentismus bzw. der damit verbundene frequentistische Wahrscheinlichkeitsbegriff orientiert sich an der relativen Häufigkeit der verschiedenen möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments. Um diese zu bestimmen, muss das Experiment möglichst oft wiederholt werden. Nach dem Gesetz der großen Zahlen ergibt sich die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses aus dem Grenzwert seiner relativen Häufigkeit bei (theoretisch) unendlich vielen Wiederholungen.

Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Quantenmechanik

→ Hauptartikel: Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation

Die Quantentheorie hat gezeigt, dass der strenge Determinismus zumindest auf der mikroskopischen Ebene nicht haltbar ist, weshalb sich quantenphysikalische Phänomene nur mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit voraussagen lassen. Nach der von Max Born 1926 vorgeschlagenen Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Quantenmechanik entspricht diese Wahrscheinlichkeit dem Betragsquadrat der durch die Schrödingergleichung beschriebenen Wellenfunktion $LaTeX: \psi$.

Axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff

In den 1930er Jahren etwickelte der sowjetische Mathematiker Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow (1903-1987) eine axiomatische Begründung der Wahrscheinlichkeitstheorie, nach der ein Wahrscheinlichkeitsmaß für zufällige Ereignisse folgende drei Axiome erfüllen muss:

1. Für jedes Zufallsereignis $LaTeX: A\in\Sigma$ ist die Wahrscheinlichkeit von $LaTeX: A$ eine reelle Zahl zwischen 0 und 1: $LaTeX: 0\leq P(A)\leq 1$.
2. Ein sicheres Ereignis $LaTeX: \Omega\in\Sigma$ hat die Wahrscheinlichkeit 1: $LaTeX: P(\Omega)=1$.
3. Die Wahrscheinlichkeit einer Vereinigung abzählbar vieler inkompatibler Ereignisse ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse. Dabei heißen Ereignisse $LaTeX: A_i$ inkompatibel, wenn sie paarweise disjunkt sind, also bei $LaTeX: A_i \cap A_j = \emptyset$ für alle $LaTeX: i \neq j$. Daher gilt: $LaTeX: P\left(A_1\dot\cup A_2\dot\cup\cdots\right) = \sum P(A_i)$. Diese Eigenschaft wird auch abzählbare Additivität oder σ-Additivität genannt.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die bedingte Wahrscheinlichkeit oder konditionale Wahrscheinlichkeit (eng. conditional probability) $LaTeX: P(A\mid B)$ ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis $LaTeX: A$ unter der Annahme eintritt, dass ein Ereignis $LaTeX: B$ bereits eingetreten ist bzw. mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit $LaTeX: P(B) > 0$ eintreten wird. Dann gilt:

$LaTeX: P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Siehe auch

• Wahrscheinlichkeit - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Wahrscheinlichkeitstheorie - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Stochastik - Artikel in der deutschen Wikipedia