Konvergenz

Konvergenz (von lat. convergere „sich annähern, zusammenlaufen“) bedeutet in der Mathematik, dass eine unendliche Folge oder eine Funktion (Mathematik) einem bestimmten Grenzwert oder Limes beliebig nahe kommt. Existiert ein solcher Grenzwert nicht, spricht man von Divergenz (von lat. divergere „auseinanderlaufen, auseinanderstreben“).

Grenzwert einer Folge

Grenzwert $LaTeX: L$ der Funktion $LaTeX: f(x)$ an der Stelle $LaTeX: p$.

Die Folge $LaTeX: \frac{1}{n}$ konvergiert gegen den Grenzwert 0, d.h.:

$LaTeX: \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

Definition

Eine präzise Definition des Grenzwerts erlaubt die von Karl Weierstraß Ende des 19. Jahrhunderts im Rahmen seiner Epsilontik eingeführte Epsilon-Umgebung:

Eine Zahl $LaTeX: x \in \mathbb R$ heißt Grenzwert einer Folge $LaTeX: \left(x_i\right)_{i\in\mathbb N} \in \mathbb R$, wenn es zu jeder (beliebig kleinen) Zahl $LaTeX: \epsilon > 0$ eine natürliche Zahl $LaTeX: n \in \mathbb N$ gibt, sodass für alle $LaTeX: i \in \mathbb N$ gilt: $LaTeX: |x_i - x| < \epsilon .$

Grenzwert einer Funktion

Der Grenzwert einer Funktion lässt sich nach der Methode von Weierstraß ähnlich definieren (siehe Zeichnung):

Der Grenzwert $LaTeX: L$ der Funktion $LaTeX: f(x)$ an der Stelle $LaTeX: p$ exisiert genau dann, wenn es zu jedem $LaTeX: \epsilon > 0$ ein $LaTeX: \delta > 0$ gibt, sodass für alle $LaTeX: x$ mit $LaTeX: |x - p| < \delta$ auch $LaTeX: | f(x) - L | < \epsilon$ gilt.

Absolut konvergente Reihe

Eine reellwertige oder komplexwertige Reihe $LaTeX: \textstyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n$ heißt absolut konvergent, wenn die Reihe der Absolutbeträge konvergiert:

$LaTeX: \sum_{n=0}^{\infty} |a_n| < \infty$

Siehe auch

• Grenzwert (Folge) - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Grenzwert (Funktion) - Artikel in der deutschen Wikipedia

Literatur

• Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel: Mathematik, 4. Auflage, Springer Spektrum 2018, ISBN 978-3662567401, eBook ISBN 978-3-662-56741-8