Menge

Eine Menge von Polygonen

Die Menge (von mhd. manic „viel“; eng. set) ist heute eines der grundlegendsten Konzepte der Mathematik. Sie fasst eine endliche oder unendliche Anzahl beliebiger, wohlunterschiedener Elemente zu einer Gesamtheit zusammen, wobei es sich bei den Elementen ebenfalls um Mengen (Elementmengen) handeln kann. Der Mengenbegriff umfasst also nicht nur Mengen von einzelnen Elementen, sondern auch Mengen von Mengen. Besteht die Menge aus genau zwei Mengen, spricht man von einer Paarmenge. Mengen werden häufig auch durch entsprechende Mengendiagramme grafisch veranschaulicht.

Grundlagen

Die Mengenlehre wurde in der Zeit von 1874 bis 1897 von Georg Cantor (1845-1918) begründet. Er definierte den Begriff „Menge“ wie folgt:

„Unter einer „Menge“ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die „Elemente“ von M genannt werden) zu einem Ganzen.“

– Georg Cantor

Vereinbarungsgemäß werden die Elemente einer Menge entweder explizit oder durch eine geeignete Definition innerhalb geschwungener Klammern angegeben, z.B. für die abzählbar unendliche Menge der natürlichen Zahlen $LaTeX: \mathbb{N} = \{1; 2; 3; \ldots\}$. Eine Menge, die keine Elemente enthält, wird als leere Menge $LaTeX: \emptyset$ oder auch $LaTeX: \{\}$ bezeichnet. Wird bei einer Menge auch die Reihenfolge der Elemente berücksichtigt, spricht man von einer Folge.

Grundmenge

A ist eine (echte) Teilmenge von B.

Die Grundmenge, die auch als Universum $LaTeX: U$ bezeichnet wird, umfasst die Menge aller im gegebenen Zusammenhang betrachteten Elemente und ist damit die Basis für alle weiteren Überlegungen.

Teilmenge

Cantor prägte auch den Begriff der Teilmenge oder Untermenge. $LaTeX: A$ ist eine Untermenge (Teilmenge) von $LaTeX: B$ und $LaTeX: B$ ist eine Obermenge von $LaTeX: A$, wenn jedes Element von $LaTeX: A$ auch in $LaTeX: B$ enthalten ist:

$LaTeX: A \subseteq B \Longleftrightarrow B \supseteq A: \forall x \in A\colon x \in B$

Enthält $LaTeX: B$ zudem weitere Elemente, die nicht in $LaTeX: A$ enthalten sind, so ist $LaTeX: A$ eine echte Teilmenge von $LaTeX: B$ und $LaTeX: B$ ist eine echte Obermenge von $LaTeX: A$.

Paarweise disjunkte Teilmengen einer Menge werden als Partionen bezeichnet (siehe unten).

Mengensystem

Eine Mengensystem ist eine Menge, deren Elemente sämtlich Teilmengen einer gemeinsamen Grundmenge sind.

Schnittmenge

Schnittmenge $LaTeX: A \cap B$

Die Schnittmenge oder Durchschnittsmenge $LaTeX: \bigcap U$ einer nichtleeren Menge von Mengen $LaTeX: U$ ist die Menge aller Elemente, die in jeder Elementmenge von $LaTeX: U$ enthalten sind. So gilt etwa für die aus den beiden Mengen $LaTeX: A$ und $LaTeX: B$ bestehende Paarmenge $LaTeX: U\,=\{A,B\}$:

$LaTeX: \bigcap U := \bigcap_{a\in U} a = \{x \mid \forall a\in U : x\in a\}$

Vereinigungsmenge

Vereinigungsmenge $LaTeX: A \cup B$

Die Vereinigungsmenge $LaTeX: \bigcup U$ einer nichtleeren Menge von Mengen $LaTeX: U$ ist die Menge aller Elemente, die in mindestens einer Elementmenge von $LaTeX: U$ enthalten sind, z.B.:

$LaTeX: \bigcup \, \{A,B\} = \{ x \mid \left( x \in {A} \right) \lor \left( x \in {B} \right) \} =: {A}\cup{B}$

Potenzmenge

Als Potenzmenge $LaTeX: \mathcal P(X)$ wird die Menge aller Teilmengen $LaTeX: U$ einer gegebenen Grundmenge $LaTeX: X$ bezeichnet:

$LaTeX: \mathcal P(X) := \{ U \mid U \subseteq X \}$

Differenzmenge und Komplementärmenge

Das absolute Komplement A^C von A in U

Die Differenzmenge zweier Mengen $LaTeX: A$ und $LaTeX: B$ ist die Menge aller Elemente, die in $LaTeX: A$, aber nicht in $LaTeX: B$ enthalten sind, d.h.:

$LaTeX: A \setminus B := \{ x \mid \left( x\in A \right) \land \left( x\not\in B \right) \}$

Gilt dabei $LaTeX: B \subseteq A$, so wird die Differenzmenge auch als Komplementärmenge von $LaTeX: B$ in $LaTeX: A$ oder kurz als Komplement bezeichnet. Dabei wird zwischen einem relativem Komplement bezüglich beliebiger Teilmengen und einem absoluten Komplement bezüglich der Grundmenge $LaTeX: U$ unterschieden.

Abzählbare Menge

Eine abzählbare Menge ist eine Menge mit einer abzählbaren Anzahl von Elementen. Eine endliche Menge enthält im Gegensatz zu einer unendlichen Menge nur endlich viele Elemente. Ist eine Menge nicht abzählbar, so bezeichnet man sie als überabzählbare Menge.

Eine Menge, die gleiche Mächtigkeit hat wie die natürlichen Zahlen $LaTeX: \mathbb{N}$ und folglich über unendlich viele Elemente verfügt, nennt man abzählbar unendlich. Endliche und abzählbar unendliche Mengen zusammen werden als höchstens abzählbare Mengen bezeichnet.

Mächtigkeit

Die Mächtigkeit oder Kardinalität einer Menge wird durch die Kardinalzahl angegeben. Für endliche Menge ist sie gleich der Anzahl ihrer Elemente. Unendliche Mengen können unterschiedliche Mächtigkeiten haben, die durch den hebräischen Buchstaben $LaTeX: \aleph$ und einen Index bezeichnet werden. Für die abzählbar unendliche Menge der natürlichen Zahlen, die unter den unendlichen Mengen die geringste Mächtigkeit haben, schreibt man entsprechend $LaTeX: \aleph_0$. Die überabzählbare unendliche Menge der reellen Zahlen hat unter Annahme der Kontinuumshypothese die Mächtigkeit $LaTeX: \aleph_1$, andernfalls gilt zumindest $LaTeX: \aleph_1 \le \left\vert\mathbb{R}\right\vert$.

Definitionsmenge

Eine Definitionsmenge bzw. ein Definitionsbereich ist eine Menge für die ein mathematischer Ausdruck, z.B. eine Funktion, ein Term, eine Relation, eine Gleichung usw. wohldefiniert ist.

Punktmenge

In der Geometrie werden verschieden dimensionale Räume, wie die eindimensionale Linie, die zweidimensionale Ebene oder der dreidimensionale Raum, traditionell als Punktmengen bezeichnet.

Offene Menge und abgeschlossene Menge

Eine offene Menge enthält keine Randelemente. Die Elemente einer offenen Menge $LaTeX: U$ sind daher nur von Elementen dieser Menge und von keinen äußeren Elementen umgeben, d.h.:

$LaTeX: \forall x \in U$ gibt es eine reelle Zahl $LaTeX: \varepsilon > 0$, sodass jeder Punkt $LaTeX: y$ des $LaTeX: n$-dimensionalen euklidischen Raums $LaTeX: \mathbb R^n$, dessen Abstand zu $LaTeX: x$ kleiner ist als $LaTeX: \varepsilon$, in $LaTeX: U$ liegt.

Andernfalls handelt es sich um eine abgeschlossene Menge.

Disjunkte Mengen

Zwei disjunkte Mengen

Zwei Mengen $LaTeX: A$ und $LaTeX: B$ heißen disjunkt, wenn sie kein gemeinsames Element besitzen, d.h. wenn ihre Schnittmenge leer ist:

$LaTeX: A\cap B=\emptyset$

So sind beispielsweise die Mengen $LaTeX: A = \{1, 7, 12\}$ und $LaTeX: B = \{3, 5, 9\}$ disjunkt, da sie kein gemeinsames Element haben. Die Mengen $LaTeX: A = \{1, 7, 12\}$ und $LaTeX: B = \{3, 7, 9\}$ sind hingegen nicht disjunkt, da sie das Element $LaTeX: 7$ gemeinsam haben.

Mehrere Mengen sind paarweise disjunkt, wenn beliebige Paare von ihnen disjunkt sind.

Partition

Als Partition $LaTeX: P$ einer Menge $LaTeX: M$ wird deren Zerlegung in paarweise disjunkte nichtleere Teilmengen bezeichnet.

Gegeben sei beispielsweise die Menge $LaTeX: M = \{1, 2, 3 , 4, 5, 6, 7, 8, 9 \}$; dann ist $LaTeX: P = \{ \{ 1, 5, 9 \}, \{ 2, 3 \}, \{4, 6, 7 \}, \{8\} \}$ eine Partition der Menge $LaTeX: M$.

Die Anzahl der möglichen Partitionen einer Menge $LaTeX: M_n$ mit $LaTeX: n$ Elementen wird durch die nach dem schottisch-amerikanischen Mathematiker und Science-Fiction-Autor Eric Temple Bell (Pseudonym: John Taine; 1883-1960) benannte Bellsche Zahl (auch: Bellzahl oder Exponentialzahl) $LaTeX: B_n$ angegeben. Die leere Menge hat dabei definitionsgemäß genaue eine Partition, welche die leere Menge selbst ist; daher ist $LaTeX: B_0 = 1$. Für die Bellschen Zahlen gilt folgende Rekursionsformel:

$LaTeX: B_{n+1} = \sum_{k=0}^{n}{{n \choose k}B_k} = \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{(n-k)! \cdot k!} \cdot B_k$

Für die Bellschen Zahlen, beginnend mit $LaTeX: B_0$, ergibt sich daher die rasch anwachsende Zahlenfolge : $LaTeX: 1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, 678570, \ldots$

Siehe auch

• Mengenlehre
• Menge (Mathematik) - Artikel in der deutschen Wikipedia

Literatur

• Felix Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. Chelsea Publ. Co., New York 1914/1949/1965, ISBN 978-3-540-42224-2.
• Adolf Fraenkel: Einleitung in die Mengenlehre. Springer, Berlin / Heidelberg / New York, NY 1928. Neudruck: Martin Sändig oHG, Walluf 1972, ISBN 3-500-24960-4.
• Paul R. Halmos: Naive Mengenlehre. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1968, ISBN 3-525-40527-8.
• Erich Kamke: Mengenlehre. 7. Auflage. Walter de Gruyter & Co., Berlin 1971, ISBN 3-11-003911-7.
• Kenneth Kunen: Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. North-Holland, 1980, ISBN 0-444-85401-0.
• Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. BI-Wissenschaft, Mannheim / Leipzig / Wien / Zürich 1994, ISBN 3-411-17271-1.
• André Joyal, Ieke Moerdijk: Algebraic Set Theory. Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-55830-1.
• Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg / Berlin 2003, ISBN 3-8274-1411-3.