Tensor

Der Spannungstensor von Cauchy in schematisch-räumlicher Darstellung

Das dreidimensionale Levi-Civita-Symbol (auch Epsilontensor oder Permutationssymbol genannt) als Beispiel für einen einfachen dreistufigen Tensor.

Ein Tensor (von lat. tendere „spannen“) ist eine algebraische Verallgemeinerung der mathematischen Begriffe von Skalar, Vektor und Matrix. Im heute gebräuchlichen, erstmals von dem deutschen Physiker Woldemar Voigt geprägten Sinn versteht man darunter eine multilineare Abbildung von Skalaren, Vektoren und Tensoren auf einen resultierenden Tensor.

Der Rang bzw. die Stufe eines Tensors gibt dessen Dimensionalität an. So hat etwa ein Skalar den Rang 0, ist also ein Tensor 0-ter Stufe. Ein Vektor hat entsprechend den Rang 1, eine Matrix den Rang 2 usw. Ein klassisches Beispiel für einen Tensor zweiter Stufe ist der von Augustin-Louis Cauchy eingeführte Spannungstensor $LaTeX: \boldsymbol{\sigma}$, der in Matrixschreibweise wie folgt angegeben werden kann:

$LaTeX: \boldsymbol{\sigma} = \begin{pmatrix} \sigma_{x}&\tau_{xy}&\tau_{xz}\\ \tau_{yx}&\sigma_{y}&\tau_{yz}\\ \tau_{zx}&\tau_{zy}&\sigma_{z} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_{11}&\sigma_{12}&\sigma_{13}\\ \sigma_{21}&\sigma_{22}&\sigma_{23}\\ \sigma_{31}&\sigma_{32}&\sigma_{33} \end{pmatrix}$

Der Spannungstensor bildet einen Normalvektor $LaTeX: \hat n$ auf den entsprechenden Spannungsvektor $LaTeX: \vec T^{\hat n}$ ab:

$LaTeX: \vec T^{(\hat n)}=\boldsymbol{\sigma} \cdot\hat n$

Einsteinsche Summenkonvention

Die Summenkonvention wurde 1916 von Albert Einstein in seiner grundlegenden Arbeit über die Allgemeine Relativitätstheorie eingeführt, um die in der Tensorrechnung häufig vorkommende Summenbildung in vereinfachter übersichtlicherer Form anzuschreiben. So lässt sich beispielsweise das Matrixprodukt zweier quadratischer $LaTeX: n \times n$-Matrizen $LaTeX: A$ und $LaTeX: B$

$LaTeX: (A \cdot B)_{ij} = \sum_{k=1}^n A_{ik} \cdot B_{kj}$ vereinfacht wie folgt anschreiben: $LaTeX: (A \cdot B)_{ij} = A_{ik} \cdot B_{kj}$

Vierertensor

Ein Vierertensor ist ein Tensor über dem 4-dimensionalen Minkowski-Raum. Vierertensoren werden insbesondere in der allgemeinen Relativitätstheorie und in der Quantenfeldtheorie verwendet. Ein Vierertensor zweiter Stufe lässt sich durch eine 4 x 4 Matrix darstellen, wie beispielsweise der metrische Tensor $LaTeX: \eta_{\mu\nu}$:

$LaTeX: \eta_{\mu\nu} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\equiv\operatorname{diag}(-1,1,1,1)$.

Weitere Beispiele sind der elektromagnetische Feldstärketensor und der Energie-Impuls-Tensor.

Vierertensoren vierter Stufe lassen sich durch $LaTeX: 4^4=256$ Koeffizienten der Form $LaTeX: R^m_{ikp}$ darstellen, wie etwa der Riemannsche Krümmungstensor.

Siehe auch

• Tensor - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Spannungstensor - Artikel in der deutschen Wikipedia