Planck-Einheiten

Die Planck-Einheiten bilden ein System natürlicher Einheiten, deren Wert ausschließlich durch fundamentale Naturkonstanten bestimmt ist und durch keine mehr oder weniger willkürliche Definition festgelegt wird. Als Maßeinheiten sind sie daher besonders gut dazu geeignet, physikalische Größen miteinander zu vergleichen. Das System wurde erstmals 1899 von Max Planck vorgeschlagen und später nach ihm benannt.

Die Planck-Skala begrenzt zugleich den Anwendungsbereich der bisher bekannten physikalischen Gesetze. Im Bereich der sogenannten Planck-Länge $LaTeX: l_p$, die vom Licht in der Planck-Zeit $LaTeX: t_p$ durchlaufen wird, könnte das physikalische Geschehen nur durch eine Theorie der Quantengravitation beschrieben werden, die aber bislang noch nicht widerspruchsfrei formuliert werden konnte. In dieser Theorie müssten die beiden großen Theorien der modernen Physik, die allgemeinen Relativitätstheorie und die Quantentheorie, miteinander vereinigt werden. Für Partikel in der Größenordnung der Planckmasse $LaTeX: m_p$ wird ihre charakteristische Größendimension, die sich aus ihrer Compton-Wellenlänge $LaTeX: \lambda = \frac{h}{m c}$ ergibt, vergleichbar dem Schwarzschild-Radius $LaTeX: r_\mathrm{S} = \frac{2 G m}{c^2}$ eines winzigen Schwarzen Loches mit dem Durchmesser der Planck-Länge $LaTeX: l_p$.

Definition

Die Grundgrößen der Planck-Einheiten ergeben sich aus einer einfachen Dimensionsbetrachtung aus folgenden universellen Naturkonstanten:

• Gravitationskonstante $LaTeX: \textstyle G = 6{,}673\;84\;(80) \cdot 10^{-11}\,\mathrm{\frac{m^3}{kg \cdot s^2}}$
• Lichtgeschwindigkeit $LaTeX: \textstyle c = 299\,792\,458\;\mathrm{m/s}$
• reduziertes plancksches Wirkungsquantum $LaTeX: \textstyle \hbar = \frac{h}{2\pi} = 1{,}054\,571\,800(13) \cdot 10^{-34}\,\mathrm{Js}$
• Boltzmann-Konstante $LaTeX: \textstyle k_\mathrm{B} = 1{,}380\,648\,52\,(79) \cdot 10^{-23} \; \mathrm{J/K}$
• Coulomb-Konstante $LaTeX: k_C = 1/(4 \pi\textstyle \varepsilon_0) \approx 8{,}987551787 \cdot 10^9 \, \mathrm{\frac{Vm}{As}}$ (mit der elektrischen Permittivität des Vakuums $LaTeX: \textstyle \varepsilon_0$).

Daraus ergeben sich folgende elementare Planck-Einheiten, aus denen alle anderen Einheiten abgeleitet werden können.

Name	Größe	Definitionsgleichung	Wert in SI-Einheiten
Planck-Masse	Masse	$LaTeX: m_p = \sqrt{\frac{\hbar\,c}{G}}$	2,176 · 10−8 kg
Planck-Länge	Länge	$LaTeX: l_p = \sqrt{\frac{\hbar\,G}{c^3}}$	1,616 · 10−35 m
Planck-Zeit	Zeit	$LaTeX: t_p = \frac{l_p}{c}$	5,391 · 10−44 s
Planck-Ladung	Ladung	$LaTeX: q_p = \sqrt{\hbar\,c\,4\,\pi\,\varepsilon_0}$	1,876 · 10−18 C
Planck-Temperatur	Temperatur	$LaTeX: T_p = \frac{m_\mathrm{P}\,c^2}{k_\mathrm{B}}$	1,417 · 1032 K

Abgeleitete Größen

Aus den fünf Grundgrößen ergeben sich folgende abgeleitete Größen:

Name	Größe	Dimension	Term	Wert in SI-Einheiten
Planck-Fläche	Fläche	L2	$LaTeX: l_\mathrm{P}^2 = \frac{\hbar G}{c^3}$	2,612 · 10−70 m2
Planck-Volumen	Volumen	L3	$LaTeX: l_\mathrm{P}^3 = \sqrt{\frac{\hbar G}{c^3}}^{\,3}$	4,222 · 10−105 m3
Planck-Energie	Energie	ML2T−2	$LaTeX: E_\mathrm{P} = m_\mathrm{P} c^2 = \frac{\hbar}{t_\mathrm{P}} = \sqrt{\frac{\hbar c^5}{G}}$	1,956 · 109 J = 1,2209 · 1028 eV = 543,4 kWh
Planck-Impuls	Impuls	MLT−1	$LaTeX: m_\mathrm{P} c = \frac{\hbar}{l_\mathrm{P}} = \sqrt{\frac{\hbar c^3}{G}}$	6,525 kg m·s−1
Planck-Kraft	Kraft	MLT−2	$LaTeX: F_\mathrm{P} = \frac{E_\mathrm{P}}{l_\mathrm{P}} = \frac{\hbar}{l_\mathrm{P} t_\mathrm{P}} = \frac{c^4}{G}$	1,210 · 1044 N
Planck-Leistung	Leistung	ML2T−3	$LaTeX: P_\mathrm{P} = \frac{E_\mathrm{P}}{t_\mathrm{P}} = \frac{\hbar}{t_\mathrm{P}^2} = \frac{c^5}{G}$	3,628 · 1052 W
Planck-Dichte	Dichte	ML−3	$LaTeX: \rho_\mathrm{P} = \frac{m_\mathrm{P}}{l_\mathrm{P}^3} = \frac{\hbar t_\mathrm{P}}{l_\mathrm{P}^5} = \frac{c^5}{\hbar G^2}$	5,155 · 1096 kg·m−3
Planck-Kreisfrequenz	Kreisfrequenz	T−1	$LaTeX: \omega_\mathrm{P} = \frac{1}{t_\mathrm{P}} = \sqrt{\frac{c^5}{\hbar G}}$	1,855 · 1043 s−1
Planck-Druck	Druck	ML−1T−2	$LaTeX: p_\mathrm{P} = \frac{F_\mathrm{P}}{l_\mathrm{P}^2} = \frac{\hbar}{l_\mathrm{P}^3 t_\mathrm{P}} =\frac{c^7}{\hbar G^2}$	4,633 · 10113 Pa
Planck-Strom	Elektrischer Strom	QT−1	$LaTeX: I_\mathrm{P} = \frac{q_\mathrm{P}}{t_\mathrm{P}} = \sqrt{\frac{c^6 4 \pi \varepsilon_0}{G}}$	3,479 · 1025 A
Planck-Spannung	Elektrische Spannung	ML2T−2Q−1	$LaTeX: U_\mathrm{P} = \frac{E_\mathrm{P}}{q_\mathrm{P}} = \frac{\hbar}{t_\mathrm{P} q_\mathrm{P}} = \sqrt{\frac{c^4}{G 4 \pi \varepsilon_0} }$	1,043 · 1027 V
Planck-Impedanz	Widerstand	ML2T−1Q−2	$LaTeX: Z_\mathrm{P} = \frac{U_\mathrm{P}}{I_\mathrm{P}} = \frac{\hbar}{q_\mathrm{P}^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 c} = \frac{Z_0}{4 \pi}$	29,98 Ω
Planck-Beschleunigung	Beschleunigung	LT−2	$LaTeX: g_\mathrm{P} = \frac{F_\mathrm{P}}{m_\mathrm{P}} = \sqrt{\frac{c^7}{\hbar G}}$	5,56 · 1051 m·s−2
Planck-Magnetfeld	Magnetische Flussdichte	MQ−1T−1	$LaTeX: B_\mathrm{P} = \sqrt{\frac{\mu_0}{4 \pi}p_\mathrm{P}} = \sqrt{\frac{c^5}{\hbar G^2 4 \pi \varepsilon_0} }$	2,1526 · 1053 T
Planck-Magnetischer Fluss	Magnetischer Fluss	ML2T−1Q−1	$LaTeX: \phi_\mathrm{P} = \frac{E_\mathrm{P}}{I_\mathrm{P}} = \sqrt{\frac{\hbar}{4 \pi \varepsilon_0 c} }$	5,6227 · 10−17 Wb

Siehe auch

• Plack-Einheiten - Artikel in der deutschen Wikipedia