Lagrange-Formalismus

Der Lagrange-Formalismus ist in der Physik eine 1788 von Joseph-Louis Lagrange eingeführte Formulierung der klassischen Mechanik, in der die Dynamik eines Systems durch eine einzige skalare Funktion, die Lagrange-Funktion, beschrieben wird. Der Formalismus ist (im Gegensatz zu der newtonschen Mechanik, die a priori nur in Inertialsystemen gilt) auch in beschleunigten Bezugssystemen gültig. Der Lagrange-Formalismus ist invariant gegen Koordinatentransformationen. Aus der Lagrange-Funktion lassen sich die Bewegungsgleichungen mit den Euler-Lagrange-Gleichungen der Variationsrechnung aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung bestimmen. Diese Betrachtungsweise vereinfacht viele physikalische Probleme, da sich, im Gegensatz zu der newtonschen Formulierung der Bewegungsgesetze, im Lagrange-Formalismus Zwangsbedingungen relativ einfach durch das explizite Ausrechnen der Zwangskräfte oder die geeignete Wahl generalisierter Koordinaten berücksichtigen lassen. Aus diesem Grund wird der Lagrange-Formalismus verbreitet bei Mehrkörpersystemen (MKS) eingesetzt. Er lässt sich auch auf den relativistischen Fall übertragen und ist auch in der relativistischen Quantenfeldtheorie zur Formulierung von Modellen von Elementarteilchen und ihrer Wechselwirkungen weit verbreitet.

Für Systeme mit einem generalisierten Potential und holonomen Zwangsbedingungen lautet die Lagrange-Funktion

$LaTeX: L = T - V$

wobei $LaTeX: T$ die kinetische Energie und $LaTeX: V$ die potentielle Energie des betrachteten Systems bezeichnen. Man unterscheidet sogenannte Lagrange-Gleichungen erster und zweiter Art. Im engeren Sinn versteht man unter dem Lagrange-Formalismus und den Lagrange-Gleichungen aber die zweiter Art, die häufig einfach als Lagrange-Gleichungen bezeichnet werden:

$LaTeX: \frac{\text{d}}{\text{d}t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial{L}}{\partial q_i} = 0\,.$

Dabei sind $LaTeX: q_i$ generalisierte Koordinaten und $LaTeX: \dot{q}_i$ deren Zeitableitungen.

Beispiele

Masse im harmonischen Potential (konservativ)

Schwingungssystem: x ist die Auslenkung aus der Gleichgewichtslage

Eine Masse $LaTeX: m$ sei über zwei Federn mit Federkonstante $LaTeX: c$ und festen Randbedingungen verbunden. Grundvoraussetzung zur Beschreibung des Problems im Lagrange-Formalismus ist das Aufstellen der Lagrange-Funktion, indem man die Terme für kinetische Energie $LaTeX: T$ und potentielle Energie $LaTeX: V$ aufstellt:

$LaTeX: T = \frac{1}{2}m\dot{x}^2$

$LaTeX: V = \frac{1}{2}cx^2$

Die Lagrange-Funktion lautet daher:

$LaTeX: L = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - \frac{1}{2}cx^2$

Die Lagrange-Funktion wiederum wird zur analytischen Beschreibung des physikalischen Problems in die Euler-Lagrange-Gleichung eingesetzt, was dann auf Gleichungen führt, die den Bewegungsgleichungen in der Newtonschen Mechanik entsprechen. In diesem Beispiel lautet die generalisierte Koordinate $LaTeX: x$, die Euler-Lagrange-Gleichung

$LaTeX: {\mathrm{d}\over \mathrm{d}t}{\partial{L}\over \partial{\dot{x}}}={\partial{L}\over \partial x}$.

Dies führt mit obigen Formeln für $LaTeX: L$ auf

$LaTeX: \ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(m\dot{x}\right)=-c x$

und damit auf die Bewegungsgleichung des Systems:

$LaTeX: \ddot{x} = -\frac{c}{m} x$.

Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung ist $LaTeX: x(t)=A\cos(\omega t + \varphi)$, $LaTeX: t$ ist die Zeit, $LaTeX: \textstyle \omega=\sqrt{c/m}$ die Kreisfrequenz. Die konstante Amplitude $LaTeX: A$ und Phase $LaTeX: \varphi$ können aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden.

Siehe auch

• Lagrange-Formalismus - Artikel in der deutschen Wikipedia

Literatur

Der Lagrange-Formalismus wird in vielen ein- und weiterführenden Lehrbüchern der klassischen Mechanik behandelt.

•  Josef Honerkamp, Hartmann Römer: Klassische Theoretische Physik. 3. Auflage. Springer, 1993, ISBN 3-540-55901-9. (Volltext hier erhältlich)
•  Herbert Goldstein, Charles P. Poole, John L. Safko: Klassische Mechanik. 3. Auflage. Wiley-VCH, 2006, ISBN 3-527-40589-5.
•  Cornelius Lanczos: The Variational Principles of Mechanics. 4. Auflage. Dover Publ. Inc, 1986, ISBN 0-486-65067-7.
•  Friedhelm Kuypers: Klassische Mechanik. 8. Auflage. Wiley-Vch, 2008, ISBN 3-527-40721-9.

Weblinks

• Whittaker Analytische Dynamik der Punkte und starren Körper, Springer, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 1924
• Artikel Von d´Alembert zu Lagrange II auf www.matheplanet.com
• Anwendungen des Lagrange-Formalismus an Beispielen der Oberstufenphysik