Dehnung

Als Dehnung $LaTeX: \varepsilon$ bezeichnet man die relative Längenänderung eines Körpers unter Belastung, z.B. durch eine einwirkende Kraft oder eine Temperaturänderung. Wenn sich die Abmessung des Körpers vergrößert, spricht man von einer positiven Dehnung oder Streckung, andernfalls von einer negativen Dehnung oder Stauchung. Mathematisch ausgedrückt:

$LaTeX: \varepsilon = \frac{\Delta \ell}{\ell_0}$

Dabei ist $LaTeX: \Delta \ell$ die Längenänderung und $LaTeX: \ell_0$ ist die ursprüngliche Länge. Die Dehnung wird als dimensionslose Zahl oder mit 100 multipliziert als Prozentwert angegeben.

Wärmeausdehnung

Wenn keine sprunghaften Strukturveränderungen des Materials auftreten, lässt sich die Wärmeausdehnung mittels des Ausdehnungskoeffzienten durch folgende lineare Gleichungen annähern:

Aggregatzustand	Länge	Fläche	Volumen
Feststoffe	$LaTeX: \begin{matrix} <p>\Delta l & = & l_0 \alpha \Delta T \\ </p> <pre> l_1 & = & l_0 (1 + \alpha \Delta T) </pre> <p>\end{matrix}$	$LaTeX: \begin{matrix} <p>\Delta A & \approx & A_0 2 \alpha \Delta T \\ </p> <pre> A_1 & = & A_0 (1 + \alpha \Delta T) ^ 2 </pre> <p>\end{matrix}$	$LaTeX: \begin{matrix} <p>\Delta V & \approx & V_0 3 \alpha \Delta T \\ </p> <pre> V_1 & = & V_0 (1 + \alpha \Delta T) ^3 </pre> <p>\end{matrix}$
Flüssigkeiten Gase			$LaTeX: \begin{matrix} <p>\Delta V & = & V_0 \gamma \Delta T \\ </p> <pre> V_1 & = & V_0 (1 + \gamma \Delta T) </pre> <p>\end{matrix}$

Dabei ist $LaTeX: \alpha$ der Längenausdehnungskoeffizient und $LaTeX: \gamma$ der Raumausdehnungskoeffizient in K^-1. Für ideale Gase ist $LaTeX: \gamma = 1/273,15 K^{-1}$, was sich aus dem absoluten Nullpunkt ergibt, der bei -273,15 °C = 0 K liegt. Das Volumen schrumpft bei dieser Temperatur theoretisch auf null.

Für die Lehrer der erten Waldorfschule in Stuttgart erläuterte Rudolf Steiner diese Zusammenhänge in seinem Wärmekurs (GA 321) wie folgt:

„Wir wollen heute zunächst davon ausgehen, wie sich sogenannte feste Körper unter dem Einfluß des Wärmewesens ausdehnen. Wir haben zu diesem Zweck hier, damit wir uns die Dinge auch einprägen und sie dann auch in entsprechender Weise im Unterricht verwerten können - es ist ja einfach und elementar zunächst -, eine Eisenstange eingespannt. Diese Eisenstange wollen wir erhitzen und ihre Ausdehnung anschaulich machen dadurch, daß hier an dieser Marke der Hebelarm, der hier angebracht ist, die Längenänderung anzeigen wird. Wenn ich hier mit dem Finger drücke, so bewegt sich dieser Zeiger nach aufwärts.

Sie werden sehen, daß, wenn wir diesen Stab hier erhitzen, sich dieser Zeiger ebenfalls aufwärts bewegen wird, was Ihnen ein Beweis sein wird, daß der Stab sich ausdehnt. Sie sehen schon, wie der Zeiger nach aufwärts rückt. Und Sie sehen, daß mit der fortgehenden Erwärmung der Zeiger mehr und mehr nach aufwärts rückt, was Ihnen ein Beweis ist, daß die Ausdehnung mit der Temperatur wächst. Würde ich statt der Substanz dieses Körpers irgendein anderes Metall verwendet haben und wir würden dann genau messen, so würden wir eine andere Ausdehnung bekommen. Wir würden finden, daß verschiedene solche Körper sich in verschieden starker Weise ausdehnen. So daß wir zunächst zu konstatieren hätten, daß die Ausdehnungsfähigkeit, die Stärke der Ausdehnung von der Substanz abhängt. Wir sehen zunächst hier ab davon, daß wir eigentlich einen Zylinder vor uns haben. Wir stellen uns zunächst vor, daß wir einfach einen Körper von einer bestimmten Länge ohne Dicke und Breite vor uns haben, und wir beobachten zunächst die Ausdehnung nur nach einer Dimension. Wenn wir uns das veranschaulichen, so bekommen wir folgendes: Wenn hier

ein Stab festgehalten wird, und wir ihn nur eigentlich als eine Länge betrachten, wollen wir zunächst für die Temperatur, den Wärmegrad, von dem wir ausgehen, die Länge dieses Stabes mit $LaTeX: l_0$ bezeichnen. Und wir bezeichnen dann die Länge des Stabes, die er bekommt, wenn wir seine Temperatur zunächst um 1 Grad erhöhen mit $LaTeX: l$. Nun sagte ich, daß die Stäbe sich verschieden stark ausdehnen, je nachdem sie von der einen oder anderen Substanz sind. Wir können nun immer das Maß der Ausdehnung, also hier von $LaTeX: a$ nach $LaTeX: b$, uns angeben durch einen Bruch, der das Verhältnis der Ausdehnung zu der ursprünglichen Stablänge bezeichnet. Wir wollen das, also diese verhältnismäßige Stärke der Ausdehnung, mit $LaTeX: \alpha$ bezeichnen. Dann haben wir die Länge, die der Stab hat, nachdem er sich ausgedehnt hat, also die Länge $LaTeX: l$, uns zusammengesetzt zu denken aus seiner ursprünglichen Länge $LaTeX: l_0$ und aus dem Stückchen, das er in seiner Länge hinzubekommen hat durch die Ausdehnung. Dieses müssen wir dazurechnen. Dadurch, daß ich $LaTeX: \alpha$ als Bruch bezeichnet habe, der das Verhältnis angibt zwischen der Ausdehnung und der ursprünglichen Länge, dadurch bekomme ich, indem ich $LaTeX: l_0$ mit $LaTeX: a$ multipliziere, die Tendenz der Ausdehnung des Stabes, und ich habe, weil ja die Ausdehnung um so bedeutender wird, je höher die Temperatur wird, das zu multiplizieren mit der Temperaturzunahme $LaTeX: t$. So daß ich sagen kann: Die Stablänge $LaTeX: l$ nach der Ausdehnung

$LaTeX: l = l_0 + l_0 \alpha t = l_0 (1 + \alpha t)$

Das heißt, will ich feststellen die Länge eines Stabes, der sich durch Erwärmung ausgedehnt hat, so muß ich seine ursprüngliche Länge mit einem Faktor multiplizieren, der hier angegeben wird durch 1 plus die Temperatur, multipliziert mit der verhältnismäßigen Ausdehnungsfähigkeit der betreffenden Substanz. Die Physiker sind gewohnt worden, das $LaTeX: \alpha$ für die betreffende Substanz den Ausdehnungskoeffizienten zu nennen.“ (Lit.: GA 321, S. 30ff)

Daran anschließend behandelt Rudolf Steiner auch die Flächenausdehnung und die Volumsausdehnung. Hier wird deutlich, wie sich Steiners waldorfpädagogisch orienterte Darstellung von der in herkömmlichen Physikbüchern unterscheidet:

„Nun habe ich hier einen Stab betrachtet. Stäbe von keiner Breite und keiner Höhe haben wir in Wirklichkeit nicht. Wir haben in Wirklichkeit ja Körper von drei Dimensionen. Wir können, wenn wir nun übergehen von dieser Längenausdehnung zunächst wiederum zur nur gedachten Flächenausdehnung, diese Formel in der folgenden Weise umwandeln: Nehmen wir an, wir betrachten statt wie hier die Längenausdehnung nun die Flächenausdehnung. Hätten wir also hier eine

Fläche, so müßten wir uns klar sein, daß die Fläche sich ausdehnt nach zwei Dimensionen, also nach der Erwärmung etwa diese Größe hätte. Wir hätten dann nicht nur die Längenausdehnung nach $LaTeX: l$, sondern auch die Breitenausdehnung nach $LaTeX: b$ ...

Ich bekomme also den ganzen Inhalt der Fläche, der hier der ursprüngliche ist, indem ich $LaTeX: b_0$ mit $LaTeX: l_0$ multipliziere, und hier denjenigen nach der Ausdehnung, indem ich auch nun $LaTeX: l_0 (1 + \alpha t)$ multipliziere mit $LaTeX: b_0 (1 + \alpha t).$

$LaTeX: l b = l_0 (1 + \alpha t) b_0 (1 + \alpha t) \quad (3)$

Das heißt, ich bekomme: $LaTeX: l b = l_0 b_0 (\alpha t)^2, \quad (4)$

das heißt aber ausgeschrieben: $LaTeX: l b = l_0 b_0 (1 + 2 \alpha t + \alpha^2 t^2). \quad (5)$

Damit würde ich die Formel haben für die Ausdehnung einer Fläche. Wenn Sie sich nun zu der Fläche noch hinzudenken eine Dicke, so habe ich diese Dicke in derselben Weise zu behandeln. Ich würde dann noch $LaTeX: d$ hinzuzufügen haben und erhalte:

$LaTeX: l b d = l_0 b_0 d_0 (1 + 3 \alpha t + 3 \alpha^2 t^2 + \alpha^3 t^3).$

Und wenn Sie diese Formel anschauen, dann bitte ich Sie besonders im Auge zu behalten das Folgende: Wenn wir hier die ersten zwei Glieder dieser Formel (6) betrachten, dann werden Sie das $LaTeX: t$ höchstens in der ersten Potenz finden. Wenn Sie das dritte Glied betrachten, finden Sie das $LaTeX: t$ in der zweiten Potenz, und das letzte $LaTeX: t$ in der dritten Potenz. Diese beiden letzten Glieder der Formel für die Ausdehnung bitte ich Sie ganz besonders zu berücksichtigen. Merken Sie sich, daß, wenn wir die Ausdehnung eines dreidimensionalen Körpers haben, wir für diesen einen Formelausdruck bekommen, der die dritte Potenz der Temperatur enthält - ich will etwas absehen von der zweiten Potenz der Temperatur. Es ist außerordentlich wichtig, daß gerade festgehalten werde an diesem Umstand, daß wir hier die dritte Potenz der Temperatur bekommen.

Da ich immer Rücksicht darauf nehmen muß, daß wir ja hier in der Waldorfschule sind und alles auch auf das Pädagogische hin orientiert sein muß, ist es nötig, Sie darauf aufmerksam zu machen, daß wenn Sie nun dieselbe Herleitung, die ich hier gemacht habe, in den gebräuchlichen Handbüchern der Physik studieren, Sie in der Art, wie ich hier die Sache dargestellt habe, einen beträchtlichen Unterschied zu der Schilderung in den gebräuchlichen Handbüchern der Physik finden werden. Ich will Ihnen jetzt mitteilen, wie die Darstellung in den gebräuchlichen Handbüchern der Physik gegeben wird. Da wird gesagt: oc ist eine Verhältniszahl - es ist ja in der Regel ein Bruch. Die Ausdehnung ist sehr klein im Verhältnis zu der ursprünglichen Länge des Stabes. Wenn ich einen Bruch habe, der im Nenner eine größere Zahl hat als im Zähler, dann bekomme ich, wenn ich quadriere oder kubiere, eine viel kleinere Zahl. Denn quadriere ich ein Drittel, so bekomme ich schon ein Neuntel, und kubiere ich gar ein Drittel, so bekomme ich ein Siebenundzwanzigstel. Das heißt, die dritte Potenz ist schon ein sehr, sehr kleiner Bruch, $LaTeX: \alpha$ ist ein Bruch, der einen sehr großen Nenner hat in der Regel. Deshalb sagen die gebräuchlichen Handbücher der Physik: Wenn ich nun das Quadrat bilde, $LaTeX: \alpha^2$ oder gar $LaTeX: \alpha^3$, mit dem ich zu multiplizieren habe das $LaTeX: t^3$, so sind das sehr kleine Brüche, die kann man einfach weglassen. So daß also die gebräuchlichen Handbücher der Physik sagen: Wir lassen diese letzten Glieder der Ausdehnungsformel einfach weg und schreiben $LaTeX: l \cdot b \cdot d$ — das ist ja das Volumen, das ein sich ausdehnender Körper durch eine bestimmte Temperatur annimmt, ich will also $LaTeX: V$ schreiben -:

$LaTeX: V = V_0 (1 + 3 \alpha t) \quad (7)$

In dieser Art wird die Formel geschrieben für die Ausdehnung eines festen Körpers, indem man sich einfach darauf beruft, daß der Bruch $LaTeX: \alpha$ quadriert und namentlich kubiert so kleine Zahlen gibt, daß man diese weglassen kann. Sie wissen, so ist es dargestellt in den gebrauchliehen Physikbüchern. Nun, damit streicht man weg das Allerwichtigste, worauf es ankommt, wenn man nun wirklich sachgemäß Wärmelehre treiben will. Das wird sich uns zeigen, indem wir weiter vorrücken.“ (S. 32)

Rudolf Steiner geht nun weiter auf die Ausdehnung von Flüssigkeiten und Gasen ein. Dabei kommt nun der Volumsausdehnung eine vorzügliche Bedeutung zu, bei der das Weglassen der höheren Potenzen den gravierenden Wesensunterschied zwischen festen, flüssigen und gasförmigen Stoffen verwischt. Bei idealen Gasen ist nämlich, wie schon oben erwähnt, der Ausdehnungskoeffizient unabhängig von der materiellen Natur des Gases. Und auch für reale Gase strebt er diesem Wert zu. Für die praktische Berechnung mag das belanglos sein. Schwerer wiegt, dass dadurch das Bewusstsein dafür, dass erst das Festwerden die Individualisierung der Körperlichkeit bedingt, verloren geht - mit allen dadurch bedingten menschenkundlichen und naturkundlichen Konsequenzen!

„Wir sehen daraus, daß sich die verschiedenen Gase nicht verhalten nach ihrer verschiedenen Substantialität, sondern daß sie sich verhalten dem Wärmewesen gegenüber einfach nach ihrer Eigenschaft, Gase zu sein, daß das Gaswerden etwas ist, was gewissermaßen als eine gemeinschaftliche Eigenschaft über alle Körper kommen kann. Ja, wir sehen daraus, daß das Gaswerden etwas ist, was alle Gase, die uns im irdischen Umkreis bekannt werden können, wenigstens in bezug auf diese Eigenschaft ihrer Ausdehnungsfähigkeit, zu einer Einheit zusammenfaßt. Halten Sie fest, daß wir einfach an der Ausdehnungsfähigkeit durch die Wärme dazu kommen, sagen zu müssen, daß sich, indem man sich von den festen Körpern her den Gasen nähert, die differenzierte Ausdehnungsfähigkeit, die wir bei festen Körpern finden, in eine Art Einheit, in eine einheitliche Ausdehnungsfähigkeit umwandelt bei Gasen, daß also mit dem festen Zustand verknüpft ist in unserem irdischen Bereich eine Differenzierung der Körperlichkeiten, wenn ich mich vorsichtig ausdrücke. Ich könnte auch sagen, daß verknüpft ist mit dem Festwerden eine Individualisierung der Körperlichkeit. Auf diesen Umstand wird sehr wenig hingewiesen in der neueren Physik. Es wird nicht darauf hingewiesen, weil man wichtigste Dinge einfach dadurch kaschiert, daß man gewisse Größen wegstreicht, mit denen man nichts Rechtes anfangen kann.“ (S. 37)

Siehe auch

• Dehnung - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Wärmeausdehnung - Artikel in der deutschen Wikipedia

Literatur

• Rudolf Steiner: Geisteswissenschaftliche Impulse zur Entwickelung der Physik, II, GA 321 (2000), ISBN 3-7274-3210-1 pdf pdf(2) html mobi epub archive.org English: rsarchive.org

Literaturangaben zum Werk Rudolf Steiners folgen, wenn nicht anders angegeben, der Rudolf Steiner Gesamtausgabe (GA), Rudolf Steiner Verlag, Dornach/Schweiz Email: verlag@steinerverlag.com URL: www.steinerverlag.com. Freie Werkausgaben gibt es auf fvn-rs.net, archive.org und im Rudolf Steiner Online Archiv. Eine textkritische Ausgabe grundlegender Schriften Rudolf Steiners bietet die Kritische Ausgabe (SKA) (Hrsg. Christian Clement): steinerkritischeausgabe.com Die Rudolf Steiner Ausgaben basieren auf Klartextnachschriften, die dem gesprochenen Wort Rudolf Steiners so nah wie möglich kommen. Hilfreiche Werkzeuge zur Orientierung in Steiners Gesamtwerk sind Christian Karls kostenlos online verfügbares Handbuch zum Werk Rudolf Steiners und Urs Schwendeners Nachschlagewerk Anthroposophie unter weitestgehender Verwendung des Originalwortlautes Rudolf Steiners. Ausführliche bibliografische Informationen mit Volltextsuche in allen derzeit verfügbaren Online-Ausgaben bietet die Steinerdatenbank.de.