Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit oder Probabilität (lat. probabilitas „Glaubhaftigkeit, Wahrscheinlichkeit“^[1], von probare „prüfen, untersuchen, erproben, beurteilen, anerkennen“^[2]; eng. probability) gibt den Grad der Gewissheit an, mit der ein bestimmtes Ereignis eintritt. Ihre mathematische Behandlung ist Gegenstand der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Nach der klassischen Definition von Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) errechnet sich bei Zufallsereignissen (z.B. beim Würfelspiel) die Wahrscheinlichkeit aus dem Verhältnis der günstigen Ergebnisse zur Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse. So können etwa mit einem idealen Spielwürfel mit gleicher Wahrscheinlichkeit die sechs Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, oder 6 geworfen werden. Die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu werfen, ihr Wahrscheinlichkeitsmaß $LaTeX: w_6$ , beträgt also genau 1/6. Die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu werfen, ist hingegen 1/2, da genau die Hälfte aller möglichen Zahlen gerade Zahlen sind, nämlich 2, 4 und 6. Die Gesamtwahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu werfen, ergibt sich dabei aus der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten ein 2, 4 oder 6 zu werfen, die jeweils 1/6 beträgt, d.h.:

$LaTeX: w_{gerade} = w_2 + w_4 + w_6 = \frac16 + \frac16 + \frac16 = \frac36 = \frac12$

Die Wahrscheinlichkeit, bei zwei hintereinander ausgeführten Würfen jedesmal eine 6 zu werfen, errechnet sich hingegen aus dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten:

$LaTeX: w_{gesamt} = w_6 \times w_6 = \frac16 \times \frac16 = \frac1{36}$

Axiomatische Begründung der Wahrscheinlichkeitstheorie

In den 1930er Jahren etwickelte der sowjetische Mathematiker Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow (1903-1987) eine axiomatische Begründung der Wahrscheinlichkeitstheorie, nach der ein Wahrscheinlichkeitsmaß folgende drei Axiome erfüllen muss:

Für jedes Zufallsereignis $LaTeX: A\in\Sigma$ ist die Wahrscheinlichkeit von $LaTeX: A$ eine reelle Zahl zwischen 0 und 1: $LaTeX: 0\leq P(A)\leq 1$ .
Das sichere Ereignis $LaTeX: \Omega\in\Sigma$ hat die Wahrscheinlichkeit 1: $LaTeX: P(\Omega)=1$ .
Die Wahrscheinlichkeit einer Vereinigung abzählbar vieler inkompatibler Ereignisse ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse. Dabei heißen Ereignisse $LaTeX: A_i$ inkompatibel, wenn sie paarweise disjunkt sind, also bei $LaTeX: A_i \cap A_j = \emptyset$ für alle $LaTeX: i \neq j$ . Es gilt daher $LaTeX: P\left(A_1\dot\cup A_2\dot\cup\cdots\right) = \sum P(A_i)$ . Diese Eigenschaft wird auch abzählbare Additivität oder σ-Additivität genannt.