Heisenbergsche Unschärferelation

Die Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation oder Unschärferelation wurde 1927 von Werner Heisenberg im Rahmen der Quantenmechanik formuliert. Abstrakt gesprochen besagt sie, dass nach dem Prinzip der Komplementarität zwei konjugierte bzw. komplementäre Observable (Messgrößen) eines Quantenobjekts nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmt sind. Das liegt am Wellencharakter der Quantenobjekte. Das Produkt der komplementären Observablen, das physikalisch die Dimension einer Wirkung hat, unterliegt stets einer durch den quantenphysikalischen Welle-Teilchen-Dualismus bedingten „Unschärfe“ in der Größenordnung des Planckschen Wirkungsquantums.

Die Unschärferelation ist weniger geheimnisvoll als es auf den ersten Blick scheint. Sie betrifft alle Wellen, z. B. auch Schallwellen. Das ist etwa für Musiker bedeutsam. Tiefe Töne, d. h. Töne mit niedriger Frequenz und entsprechend großer Wellenlänge müssen länger gehört werden, um sie klar voneinander unterscheiden zu können. Je länger ein Ton gespielt wird, desto besser kann man ihn von anderen naheliegenden Tönen unterscheiden. Instrumente, die nur kurz angespielt werden, müssen daher nicht so fein gestimmt werden wie solche, die den Ton länger spielen wie etwa Violinen.

Mathematischer Formalismus

Mathematisch betrachtet verletzen die beiden komplementären Operatoren $LaTeX: A$ und $LaTeX: B$ das Kommutativgesetz, d.h. ihr Kommutator $LaTeX: [A, B]$ ist ungleich 0. Mit dem reduzierten Planckschen Wirkungsquantum $LaTeX: \textstyle \hbar = \frac{h}{2\pi} = 1{,}054\,571\,800(13) \cdot 10^{-34}\,\mathrm{Js}$ angeschrieben gilt:

$LaTeX: [A, B] = AB - BA =\pm \mathrm i \hbar$

Die bekanntesten konjugierten Observablen-Paare, für die die Umbestimmtheitsrelation gilt, sind Ort $LaTeX: x$ und Impuls (Physik) $LaTeX: p$bzw. Energie $LaTeX: E$ und Zeit $LaTeX: t$:

$LaTeX: \Delta x \cdot \Delta p \; \gtrsim \; h$ bzw. $LaTeX: \Delta E \cdot \Delta t \; \gtrsim \; h$ mit $LaTeX: h &= 6{,}626\,070\,040(81) \cdot 10^{-34}\,\mathrm{Js}$

Letztere wird auch als Energie-Zeit-Unschärferelation bezeichnet. Sie bestimmt z. B. die mittlere Lebensdauer $LaTeX: \tau$ metastabiler Zustände:

$LaTeX: \tau = \frac{h}{\Delta E}$

Literatur

• Boris Lemmer, Benjamin Bahr, Rina Piccolo: Quirky Quarks: Mit Cartoons durch die unglaubliche Welt der Physik, Springer Verlag 2017, ISBN 978-3662502587, eBook ISBN 978-3-662-50259-4 (pdf), ASIN B01MQRB6YZ (kindle)

vgl. B. Lemmer, S. 155f.