Zentrifugalkraft

Dieser Artikel behandelt die physikalische Zentrifugalkraft: Für die von Rudolf Steiner erwähnten, ganz anders gearteten zentrifugalen Kräfte siehe den Artikel → Universalkräfte

Die Zentrifugalkraft (von lat. centrum, Mitte und fugere, fliehen), auch Fliehkraft, ist eine Trägheitskraft, die bei Dreh- und Kreisbewegungen auftritt und radial von der Rotationsachse nach außen gerichtet ist. Sie wird durch die Trägheit des Körpers verursacht. Die Auswirkungen der Zentrifugalkraft sind im Alltag vielfach erlebbar, beispielsweise wenn beim Kettenkarussell die Sitze nach außen gedrängt werden, in der Salatschleuder das Wasser nach außen geschleudert wird oder sich ein Zweiradfahrer „in die Kurve legen“ muss.

In der klassischen Mechanik bezeichnet Zentrifugalkraft …

• … den Widerstand, den der Körper nach dem Trägheitsprinzip der Änderung seiner Bewegungsrichtung entgegensetzt, wenn er einer gekrümmten Bahn folgt. Die Zentrifugalkraft ist stets entgegengesetzt gleich zu der Zentripetalkraft, die diese Änderung der Bewegungsrichtung verursacht. Als d’Alembertsche Trägheitskraft steht die Zentrifugalkraft mit der Zentripetalkraft im dynamischen Gleichgewicht.
• … eine Kraft, die immer dann berücksichtigt werden muss, wenn man die Bewegung eines Körpers bezüglich eines rotierenden Bezugssystems beschreibt. Diese Trägheitskraft tritt auch bei Abwesenheit einer Zentripetalkraft auf, jedoch nie in einem Inertialsystem. Die Zentrifugalkraft ergibt sich aus der Zentrifugalbeschleunigung durch Multiplikation mit der Masse.

Die Zentrifugalkraft ergibt sich nach beiden Begriffsbildungen in gleicher Größe und Richtung. Die Zentrifugalkraft ist eine Scheinkraft und genügt daher nicht dem Prinzip von Actio und Reactio.

Geschichte

Die Passagiere eines rotierenden Kettenkarussells schwingen durch die Zentrifugalkraft nach außen.

Eine qualitative Beschreibung der Zentrifugalkraft findet sich bereits in den 1644 erschienenen Prinzipien der Philosophie von René Descartes. Quantitativ wurde sie erstmals 1669 in einem Brief von Christian Huygens an den Sekretär der Royal Society Henry Oldenbourg abgeleitet, auch in dessen Horologium Oscillatorium von 1673 ohne Ableitung erwähnt und ausführlich in dessen nachgelassener Schrift von 1703 De Vis Centrifuga (aus dem Jahr 1659). Isaac Newton beschrieb die Zentrifugalkraft erst nach Huygens, aber unabhängig von diesem.

Zentrifugalkraft bei einer Kreisbewegung

Die sich durch die Zentrifugalkraft ausbildende Form der Flüssigkeitsoberfläche in einem rotierenden, offenen Wassereimer wurde von Isaac Newton als Nachweis der Existenz eines absoluten Raumes gedeutet.

Trägheitswiderstand

Formeln

Bei einem Spielplatzkarussell mit geringer Eigenmasse erhöhen sich Drehzahl und Zentrifugalkraft, wenn man sich von außen nach innen bewegt.

Ein schweres, mechanisch angetriebenes Karussell verändert seine Drehzahl demgegenüber kaum, wenn man sich zur Mitte hin bewegt. Die Zentrifugalkraft nimmt daher dabei ab.

Für eine Kreisbahn ist die Zentrifugalkraft $LaTeX: F_\text{Zf}$ radial vom Mittelpunkt nach außen gerichtet. Ihre Stärke kann mithilfe der Masse $LaTeX: m$, des Radius $LaTeX: r$ des Kreises und der Winkelgeschwindigkeit $LaTeX: \omega$ berechnet werden. Es gilt:

$LaTeX: F_\text{Zf} = m\, \omega^2 \,r$

Die Bahngeschwindigkeit $LaTeX: v$ hängt mit der Winkelgeschwindigkeit und dem Radius des Kreises zusammen durch

$LaTeX: \omega = v/r$.

Daher kann die Zentrifugalkraft auch in Abhängigkeit von der Bahngeschwindigkeit angegeben werden:

$LaTeX: F_\text{Zf} = m\,\frac{v^2}{r}$

Die Formeln zeigen, warum es schwieriger für eine Person wird, sich auf einer frei rotierenden Scheibe aufzuhalten, wenn sie sich zum Mittelpunkt der Scheibe hin bewegt. Die Massenträgheit ist bestrebt, die Bahngeschwindigkeit der Person beizubehalten, während sie sich der Rotationsachse der Scheibe nähert. Dadurch beschleunigt sich die Rotation der Scheibe, ihre Winkelgeschwindigkeit steigt (vergleiche Coriolis-Effekt). Als Resultat erhöht sich die Zentrifugalkraft proportional zur Verringerung des Radius.
Im Gegensatz dazu verringern sich bei einem großen Karussell mit gleichbleibender Drehzahl Bahngeschwindigkeit und Zentrifugalkraft, wenn man sich zur Mitte hin bewegt, proportional zum Radius.

Der Betrag der Zentrifugalbeschleunigung $LaTeX: a_\text{Zf}$ ergibt sich aus der Zentrifugalkraft durch Division durch die Masse $LaTeX: m$ des Probekörpers. Es gilt daher

$LaTeX: a_\text{Zf} = \omega^2 \,r$

und

$LaTeX: a_\text{Zf} = \frac{v^2}{r}$.

Diese Gleichungen gelten ganz allgemein, wenn ein Körper eine Bahn durchläuft. Dabei ist der Krümmungsradius $LaTeX: r$ der Radius des minimalen Kreises, der sich am jeweiligen Ort des Körpers an die Bahn anschmiegen lässt. Und $LaTeX: \omega$ ist die Winkelgeschwindigkeit, die der Körper in Bezug auf den Mittelpunkt dieses Kreises hat. Die Zentrifugalkraft zeigt dann nach „außen“, vom Mittelpunkt des Kreises weg.

Die Zentripetalkraft ist gleich stark wie die Zentrifugalkraft und ist ihr exakt entgegen gerichtet:

$LaTeX: F_{Zf} = F_{Zp}$, vektoriell: $LaTeX: \vec F_{Zf} = -\vec F_{Zp}$

Zur Berechnung der Zentripetalkraft werden daher die genau gleichen Formeln wie zur Berechnung der Stärke der Zentrifugalkraft eingesetzt. Allerdings ist die weit verbreite Vorstellung falsch, man würde deshalb aus der Kurve „getragen“, weil die Zentrifugalkraft größer sei als die Zentripetalkraft. Vielmehr geschieht dies, wenn die zur Änderung der Bewegungsrichtung (Kreisbahn) einwirkende äußere Kraft nicht ausreicht, die erwartete Änderung herbeizuführen. Beispiel: die Haftreibung der Autoreifen reicht nicht aus, um diejenige Zentripetalkraft von der Fahrbahn auf das Fahrzeug zu übertragen, die bei der gegebenen Geschwindigkeit dem Einschlag des Lenkrads und dem so gewählten Kurvenradius entspricht.

Nur durch die Einführung eines speziellen rotierenden Bezugsystems lässt sich die Zentrifugalkraft von der Zentripetalkraft entkoppeln.

Zentripetalkraft bei Kurvenfahrt

Kurvenabschnitt (Länge L, gestrichelt), Änderung der Geschwindigkeit $LaTeX: \Delta \vec v$, Krümmungsradius $LaTeX: r$

Ein Körper mit der Masse $LaTeX: m$ befährt mit konstanter Geschwindigkeit einen Kurvenabschnitt mit dem Krümmungsradius $LaTeX: r$ und ändert dabei seine Bewegungsrichtung (siehe Abb.). Damit die Bewegungsrichtung sich wie angegeben ändert, muss im rechten Winkel zur Bewegungsrichtung eine Kraft einwirken. Dies ist die Zentripetalkraft.

Der Betrag $LaTeX: v$ der Geschwindigkeit bleibt gleich, aber der Geschwindigkeitsvektor $LaTeX: \vec v$ ändert sich um $LaTeX: \vec{\Delta v}$. Wenn $LaTeX: \Delta v$ den Betrag dieser Änderung bezeichnet, dann ist die dazu nötige Kraft

$LaTeX: F=m\, \frac{\Delta v}{\Delta t}$ (2. Newtonsches Gesetz oder Grundgesetz der Mechanik).

Während der Zeit $LaTeX: \Delta t$ legt der Körper die Strecke $LaTeX: L=v \Delta t$ zurück. Für den Winkel $LaTeX: \alpha$ (im Bogenmaß) gilt $LaTeX: \alpha =L/r$, also ist $LaTeX: \Delta v=v \alpha= \frac{v^2}{r} \Delta t$. Setzt man den Ausdruck für $LaTeX: \Delta v$ in die Formel für $LaTeX: F$ ein, ergibt sich die Zentripetalkraft $LaTeX: F_{Zp}$:

$LaTeX: F_{Zp} = m \frac{v^2}r$

Die Kreisfahrt kann auch als Rotation um den Krümmungsmittelpunkt mit der Winkelgeschwindigkeit $LaTeX: \omega$ aufgefasst werden. Mit $LaTeX: v = \omega \, r$ gilt für die Zentripetalkraft auch:

$LaTeX: F_{Zp} = m \,\omega ^2\, r$

Zahlenbeispiel

Ein Autofahrer mit der Masse von 70 kg ($LaTeX: m \mathrm{g} \approx$ 700 N) fährt mit 15 m/s (54 km/h) durch eine Rechtskurve mit einem Radius von 75 m.

Die Zentripetalkraft ist dann

$LaTeX: F_{Zp} = 70 \; \mathrm{kg} \frac{({15\; \mathrm{m/s})}^2}{75\; \mathrm{m}} = 70 \; \mathrm{kg} \cdot 3\; \mathrm{m/s^2}= 210\, \mathrm{N}.$

Die Zentripetalkraft wirkt von links auf den Fahrer ein und zwingt ihn aus seiner zunächst geradlinigen Trägheitsbewegung in die Kurvenbahn, gerade so, dass er im Auto seine Position beibehält. Die Kraft wird vom Fahrersitz auf den Fahrer ausgeübt und er spürt sie dadurch, dass er seitlich in den Sitz gedrückt wird.

D’Alembertsche Trägheitskraft

Beschreibt der Schwerpunkt eines Körpers mit der Masse $LaTeX: m$ in einem Inertialsystem eine gekrümmte Bahn, so ist dafür eine Kraft erforderlich, die an jedem Punkt eine zur Bahnkurve senkrechte Komponente besitzt. Diese Komponente wird Zentripetalkraft $LaTeX: \vec F_\text{Zp}$ genannt. Gemäß dem zweiten newtonschen Gesetz ergibt sich eine dazu proportionale Zentripetalbeschleunigung $LaTeX: \vec a_\text{Zp}$, die zum Krümmungsmittelpunkt der Bahn gerichtet ist:

$LaTeX: \vec F_\text{Zp} = m \vec a_\text{Zp}$

Diese Grundgleichung der Mechanik kann auf die Form

$LaTeX: \vec F_\text{Zp}-m \vec a_\text{Zp} = \vec 0$

gebracht werden.

Das negative Produkt aus Masse und Zentripetalbeschleunigung wird formal als Kraft aufgefasst und als Zentrifugalkraft $LaTeX: F_\text{Zf}$ bezeichnet. Ein dynamisches Problem kann somit auf ein statisches Gleichgewicht aus äußerer Kraft und Trägheitskraft zurückgeführt werden:

$LaTeX: \vec F_\text{Zp}+\vec F_\text{Zf} = \vec 0$

Im Sinne des dynamischen Gleichgewichts ist die Zentrifugalkraft stets entgegengesetzt gleich groß wie die Zentripetalkraft. Die Summe der Kräfte ist somit null, wenn man die (d’Alembertsche) Trägheitskraft mit einschließt.

Daraus ergibt sich die Definition der Zentrifugalkraft als Trägheitswiderstand in Bezug auf die Zentripetalkraft:

$LaTeX: \vec F_\text{Zf} = -\vec F_\text{Zp}$

Der Trägheitswiderstand quantifiziert eine Eigenschaft der Trägheit, die sich dadurch äußern soll, dass ein Körper sich durch eine Trägheitskraft („vis inertiae“) jeder Änderung einer bestehenden Bewegung widersetzt.

Die Zentrifugalkraft im d’Alembertschen Sinn ist immer an die Zentripetalkraft gekoppelt, gewissermaßen deren Spiegelbild. Sie wird daher in manchen Texten als „Gegenkraft“ oder „Reaktionskraft“ zur Zentripetalkraft beschrieben; dabei wird ein Bezug zum dritten newtonschen Gesetz nahegelegt. Andere Autoren wenden jedoch ein, dass diese Kraft nicht mit den in rotierenden Bezugssystemen auftretenden Trägheits- bzw. Scheinkräften verwechselt werden darf und verweisen auf einen Widerspruch zum dritten newtonschen Gesetz, da Zentripetalkraft und Zentrifugalkraft am selben Körper angreifen, dagegen müssen Kräftepaare, die als „Actio und Reactio“ bezeichnet werden, an verschiedenen Körpern angreifen.

Im Unterschied dazu ist diejenige Zentrifugalkraft, die nur dann berücksichtigt werden muss, wenn man die newtonsche Bewegungsgleichung in einem beschleunigten und rotierenden Bezugssystem formuliert von der Zentripetalkraft unabhängig.

Zentrifugalpotential

Da die Zentrifugalkraft, genau wie die Gravitationskraft $LaTeX: F_\mathrm{G}=mg,$ proportional zur Masse des Körpers ist, lässt sich die Zentrifugalbeschleunigung ähnlich wie die Erdbeschleunigung $LaTeX: g$ als Ortsfaktor deuten. Dieser Ortsfaktor gibt die Beschleunigung an, die ein Körper aufgrund der Zentrifugalkraft an diesem Ort erfährt.

$LaTeX: \Phi_\mathrm{Z} = \frac{\omega^2 r^2}{2} = \frac{v^2}{2}$

Denn $LaTeX: \omega r = v$ ist die Geschwindigkeit, wenn Winkelgeschwindigkeit und Radiusvektor senkrecht aufeinander stehen.

Die Energie im Zentrifugalpotential ist gleich der kinetischen Energie:

$LaTeX: E_\mathrm{Z} = \frac{m \omega^2 r^2}{2} = \frac{m v^2}{2}$

Mit einem anderen Zentralpotential (z. B. Gravitation, Coulomb-Kraft) kann das Zentrifugalpotential zum effektiven Potential zusammengefasst werden.

Zum Thema "Bezugssystemabhängige Scheinkräfte" siehe auch

• Zentrifugalkraft - Artikel in der deutschen Wikipedia

Zum Thema "Praktische Beispiele" siehe auch

• Zentrifugalkraft - Artikel in der deutschen Wikipedia

Siehe auch

• Zentrifugalkraft - Artikel in der deutschen Wikipedia

Weblinks

 Wiktionary: Zentrifugalkraft – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

 Wiktionary: Fliehkraft – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Zentrifugalkraft auf Schülerniveau bei LEIFI